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3人でじゃんけん、n回目に勝者が1人決まる確率【2021埼玉大学・理】

数学(大学入試問題)

【2021埼玉大学・理(数),工】

\(3\) 人でじゃんけんをして,勝者を \(1\) 人決める.じゃんけんで勝者が \(1\) 人に決まらなかった場合には,敗者を除き次のじゃんけんを行う.あいこも \(1\) 回と数える.次の問いに答えよ.

(1) \(1\) 回目に勝者が \(1\) 人決まる確率を求めよ.

(2) \(2\) 回目に勝者が \(1\) 人決まる確率を求めよ.

(3) \(3\) 回目に敗者が \(1\) 人除かれ, \(6\) 回目に勝者が \(1\) 人決まる確率を求めよ.

(4) \(n\) を自然数とする.\(n\) 回目に勝者が \(1\) 人決まる確率を求めよ.

じゃんけん問題のPoint

《勝敗がつく場合》

・分 子  ⇒  (誰が)×(何で) を考える

・分 母  ⇒  \(3^{人数}\)

《あいこの確率》

余事象の利用

\(2\) 人でじゃんけんのとき

手の出し方の総数は,\(3^2\) 通り

\(1\) 人が勝つ確率

誰が勝つか・・・\(2\) 通り

何で勝つか・・・\(3\) 通り

したがって,\(\displaystyle\frac{2\times 3}{3^2}=\displaystyle\frac{2}{3}\) ・・・①

あいこになる確率

余事象を考えて①より,\(1-\displaystyle\frac{2}{3}=\displaystyle\frac{1}{3}\) ・・・②

\(3\) 人でじゃんけんのとき

手の出し方の総数は,\(3^3\) 通り

\(1\) 人が勝つ確率

誰が勝つか・・・\(_{3}C_{1}=3\) 通り

何で勝つか・・・\(3\) 通り

したがって,\(\displaystyle\frac{3\times 3}{3^3}=\displaystyle\frac{1}{3}\) ・・・③

\(2\) 人が勝つ確率

誰が勝つか・・・\(_{3}C_{2}=3\) 通り

何で勝つか・・・\(3\) 通り

したがって,\(\displaystyle\frac{3\times 3}{3^3}=\displaystyle\frac{1}{3}\) ・・・④

あいこになる確率

余事象を考えて③,④より,\(1-\left(\displaystyle\frac{1}{3}+\displaystyle\frac{2}{3}\right)=\displaystyle\frac{1}{3}\) ・・・⑤

n 人ジャンケン「あいこ」の確率【一般化】
正攻法と余事象の2通りの解法。一般化の考え方、二項定理や部屋分け問題の有名問題を組み合わせてん人のじゃんけんのあいこの確率を考える。

解説・解答

(1) \(1\) 回目に勝者が \(1\) 人決まる確率

③( \(3\) 人⇒ \(1\) 人 )より,\(\displaystyle\frac{1}{3}\)

(2) \(2\) 回目に勝者が \(1\) 人決まる確率

( ⅰ ) \(1\) 回目にあいこ,\(2\) 回目に勝者が決まるとき

⑤( \(3\) 人⇒ \(3\) 人 ),③( \(3\) 人⇒ \(1\) 人 )より,

\(\displaystyle\frac{1}{3}\times \displaystyle\frac{1}{3}=\displaystyle\frac{1}{9}\)

( ⅱ ) \(1\) 回目で \(2\) 人勝ち,\(2\) 回目に勝者が決まるとき

④( \(3\) 人⇒ \(2\) 人 ),①( \(2\) 人⇒ \(1\) 人 )より,

\(\displaystyle\frac{1}{3}\times \displaystyle\frac{2}{3}=\displaystyle\frac{2}{9}\)

( ⅰ ),( ⅱ )より

\(\displaystyle\frac{1}{9}+\displaystyle\frac{2}{9}=\displaystyle\frac{1}{3}\)

(3) \(3\) 回目に敗者が \(1\) 人除かれ, \(6\) 回目に勝者が \(1\) 人決まる確率

最初の\(2\) 回は,⑤( \(3\) 人⇒ \(3\) 人 )より \(\left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)^2\)

\(3\) 回目は,④( \(3\) 人⇒ \(2\) 人 )より \(\displaystyle\frac{1}{3}\)

\(4\) , \(5\) 回目は,②( \(2\) 人⇒ \(2\) 人 )より \(\left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)^2\)

\(6\) 回目は,①( \(2\) 人⇒ \(1\) 人 )より \(\displaystyle\frac{2}{3}\)

したがって,\(\left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)^2\times \displaystyle\frac{1}{3}\times \left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)^2\times \displaystyle\frac{1}{3}=\displaystyle\frac{2}{729}\)

(4) \(n\) を自然数とする.\(n\) 回目に勝者が \(1\) 人決まる確率

考え方

① 〜 ⑤の結果より,

① ( 2人 ⇒ 1人 ) は \(\displaystyle\frac{2}{3}\) であり,

② ( 2人 ⇒ 2人 ),③ ( 3人 ⇒ 1人 ),④ ( 3人 ⇒ 2人 ),⑤ ( 3人 ⇒ 3人 ) は \(\displaystyle\frac{1}{3}\)

つまり,① ( 2人 ⇒ 1人 ) のみ確率が異なるので,その点に注意し場合分けを考える.

( ⅰ ) \(1\) 〜 \(n-1\)  回のじゃんけんのうち,

どのタイミングで3 ⇒ 2となるか,また最後 ( \(n\) 回目 ) は2 ⇒ 1である

( ⅱ ) ずっとあいこで,最後に 3 ⇒ 1 になるとき

の 2 つの場合分けで考える.

(4)解答

\(n\) が \(2\) 以上のとき 

( ⅰ ) \(k\) 回目 ( \(1≦k≦n-1\) ) に \(3\) 人から \(2\) 人になるとき

\(1\) 〜 \(n-1\) 回のどこで 3人 ⇒ 2人になるかの \(n-1\) 通り.

また,3人 ⇒ 3人,3人 ⇒ 2人,2人 ⇒ 2人 となる確率はいずれも \(\displaystyle\frac{1}{3}\) であり,

2人 ⇒ 1人 となる確率は \(\displaystyle\frac{2}{3}\) であるから,

\((n-1)\times \left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)^{n-1}\times \displaystyle\frac{2}{3}=\displaystyle\frac{2n-2}{3^n}\)

 

( ⅱ ) \(n-1\) 回目まであいこで,最後に \(1\) 人に勝者が決まるとき

3人 ⇒ 3人,3人 ⇒ 1人 となる確率はいずれも \(\displaystyle\frac{1}{3}\) であるから,

\(\left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)^n=\displaystyle\frac{1}{3^n}\)

 

よって,\(\displaystyle\frac{2n-2}{3^n}+\displaystyle\frac{1}{3^n}=\displaystyle\frac{2n-1}{3^n}\)

これは\(n\) が \(1\) のとき も満たす

したがって求める確率は,\(\displaystyle\frac{2n-1}{3^n}\)

※  \(n-1\) 回目までで場合分けを行ったため, \(n\) が \(2\) 以上として考え,最後に \(n\) が \(1\) のときの確認を行った.まずは大まかな解答の流れが作れることが大切!それができるようになったら,しっかりと \(n\) についても配慮できるように!
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