3人でじゃんけん、n回目に勝者が1人決まる確率【2021埼玉大学・理】

じゃんけん問題のPoint

\(2\) 人でじゃんけんのとき

手の出し方の総数は，\(3^2\) 通り

\(1\) 人が勝つ確率

・誰が勝つか・・・\(2\) 通り

・何で勝つか・・・\(3\) 通り

したがって，\(\displaystyle\frac{2\times 3}{3^2}=\displaystyle\frac{2}{3}\) ・・・①

あいこになる確率

余事象を考えて①より，\(1-\displaystyle\frac{2}{3}=\displaystyle\frac{1}{3}\) ・・・②

\(3\) 人でじゃんけんのとき

手の出し方の総数は，\(3^3\) 通り

\(1\) 人が勝つ確率

・誰が勝つか・・・\(_{3}C_{1}=3\) 通り

・何で勝つか・・・\(3\) 通り

したがって，\(\displaystyle\frac{3\times 3}{3^3}=\displaystyle\frac{1}{3}\) ・・・③

\(2\) 人が勝つ確率

・誰が勝つか・・・\(_{3}C_{2}=3\) 通り

・何で勝つか・・・\(3\) 通り

したがって，\(\displaystyle\frac{3\times 3}{3^3}=\displaystyle\frac{1}{3}\) ・・・④

あいこになる確率

余事象を考えて③，④より，\(1-\left(\displaystyle\frac{1}{3}+\displaystyle\frac{2}{3}\right)=\displaystyle\frac{1}{3}\) ・・・⑤

n 人ジャンケン「あいこ」の確率【一般化】

正攻法と余事象の２通りの解法。一般化の考え方、二項定理や部屋分け問題の有名問題を組み合わせてん人のじゃんけんのあいこの確率を考える。

mathmathmanabu.com

2021.08.26

解説・解答

(１)　\(1\) 回目に勝者が \(1\) 人決まる確率

③( \(3\) 人⇒ \(1\) 人 )より，\(\displaystyle\frac{1}{3}\)

(２)　\(2\) 回目に勝者が \(1\) 人決まる確率

( ⅰ )　\(1\) 回目にあいこ，\(2\) 回目に勝者が決まるとき

⑤( \(3\) 人⇒ \(3\) 人 )，③( \(3\) 人⇒ \(1\) 人 )より，

\(\displaystyle\frac{1}{3}\times \displaystyle\frac{1}{3}=\displaystyle\frac{1}{9}\)

( ⅱ )　\(1\) 回目で \(2\) 人勝ち，\(2\) 回目に勝者が決まるとき

④( \(3\) 人⇒ \(2\) 人 )，①( \(2\) 人⇒ \(1\) 人 )より，

\(\displaystyle\frac{1}{3}\times \displaystyle\frac{2}{3}=\displaystyle\frac{2}{9}\)

( ⅰ )，( ⅱ )より

\(\displaystyle\frac{1}{9}+\displaystyle\frac{2}{9}=\displaystyle\frac{1}{3}\)

(３)　\(3\) 回目に敗者が \(1\) 人除かれ， \(6\) 回目に勝者が \(1\) 人決まる確率

最初の\(2\) 回は，⑤( \(3\) 人⇒ \(3\) 人 )より \(\left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)^2\)

\(3\) 回目は，④( \(3\) 人⇒ \(2\) 人 )より \(\displaystyle\frac{1}{3}\)

\(4\) , \(5\) 回目は，②( \(2\) 人⇒ \(2\) 人 )より \(\left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)^2\)

\(6\) 回目は，①( \(2\) 人⇒ \(1\) 人 )より \(\displaystyle\frac{2}{3}\)

したがって，\(\left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)^2\times \displaystyle\frac{1}{3}\times \left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)^2\times \displaystyle\frac{1}{3}=\displaystyle\frac{2}{729}\)

(４)　\(n\) を自然数とする．\(n\) 回目に勝者が \(1\) 人決まる確率

考え方

① 〜 ⑤の結果より，

① ( 2人 ⇒ 1人 ) は \(\displaystyle\frac{2}{3}\) であり，

② ( 2人 ⇒ 2人 )，③ ( 3人 ⇒ 1人 )，④ ( 3人 ⇒ 2人 )，⑤ ( 3人 ⇒ 3人 ) は \(\displaystyle\frac{1}{3}\)

つまり，① ( 2人 ⇒ 1人 ) のみ確率が異なるので，その点に注意し場合分けを考える．

( ⅰ )　\(1\) 〜 \(n-1\)  回のじゃんけんのうち，

どのタイミングで3 ⇒ 2となるか，また最後 ( \(n\) 回目 ) は2 ⇒ 1である

( ⅱ )　ずっとあいこで，最後に 3 ⇒ 1 になるとき

の 2 つの場合分けで考える．

(４)解答

\(n\) が \(2\) 以上のとき 

( ⅰ )　\(k\) 回目 ( \(1≦k≦n-1\) ) に \(3\) 人から \(2\) 人になるとき

\(1\) 〜 \(n-1\) 回のどこで 3人 ⇒ 2人になるかの \(n-1\) 通り．

また，3人 ⇒ 3人，3人 ⇒ 2人，2人 ⇒ 2人 となる確率はいずれも \(\displaystyle\frac{1}{3}\) であり，

2人 ⇒ 1人 となる確率は \(\displaystyle\frac{2}{3}\) であるから，

\((n-1)\times \left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)^{n-1}\times \displaystyle\frac{2}{3}=\displaystyle\frac{2n-2}{3^n}\)

( ⅱ )　\(n-1\) 回目まであいこで，最後に \(1\) 人に勝者が決まるとき

3人 ⇒ 3人，3人 ⇒ 1人 となる確率はいずれも \(\displaystyle\frac{1}{3}\) であるから，

\(\left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)^n=\displaystyle\frac{1}{3^n}\)

よって，\(\displaystyle\frac{2n-2}{3^n}+\displaystyle\frac{1}{3^n}=\displaystyle\frac{2n-1}{3^n}\)

これは\(n\) が \(1\) のとき も満たす

したがって求める確率は，\(\displaystyle\frac{2n-1}{3^n}\)

n 人ジャンケン「あいこ」の確率【一般化】

正攻法と余事象の２通りの解法。一般化の考え方、二項定理や部屋分け問題の有名問題を組み合わせてん人のじゃんけんのあいこの確率を考える。

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2021.08.26