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【2021早稲田大学・社会】n 進法・整数問題

数学(大学入試問題)

【2021早稲田大学・社会学科】

\(k\) を \(3\) 以上の整数とする.

\(k\) 進法で \(2021_{(k)}\) と表される整数 \(N\) を考える.

(1) \(N\) が \(k-1\) で割り切れるときの \(k\) の値を求めよ.

(2) \(N\) を \(k+1\) で割ったときの余りを \(k\) で表せ.

(3) \(N\) を \(k+2\) で割ったときの余りが \(1\) となる \(k\) の値をすべて求めよ.

 



解答(1)

\(N=2021_{(k)}=2\times k^3+0\times k^2+2\times k+1=2k^3+2k+1\)

よって,\(N=(k-1)(2k^2+2k+4)+5\) より,\(N\) が \(k-1\) で割り切れるとき,

\(5\) は \(k-1\) で割り切れる.

\(k≧3\) より,\(k-1≧2\) なので,

\(k-1=5\) つまり,\(k=6\)

 

解答(2)

\(N=(k+1)(2k^2-2k+4)-3\) より

\(N=(k+1)\left\{(2k^2-2k+3)+1\right\}-3\\  =(k+1)( 2k^2-2k+3)+(k+1)-3\\  =(k+1)( 2k^2-2k+3)+ k-2\)

\(k≧3\) より,\(k-1≧2\) なので,\(k-2\) は

\(0≦k-2<k+1\) を満たす.

よって,\(N\) を \(k+1\) で割ったときの余りは \(k-2\)

 

解答(3)

\(N=(k+2)(2k^2-4k+10)-19\) より

\(N\) が \(k+2\) で割ったときの余りが \(1\) であるためには,

\(-19\) を \(k+2\) で割ったときの余りが \(1\) であればよい.

つまり,ある整数 \(m\) を用いて

\(-19=(k+2)m+1\)

よって,\((k+2)m=-20\)

\(k≧3\) より,\(k+2≧5\) なので,

\(k+2= 5 , 10 , 20\)

したがって,\(k= 3 , 8 , 18\)



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