【2021早稲田大学・社会学科】

\(k\) を \(3\) 以上の整数とする．

\(k\) 進法で \(2021_{(k)}\) と表される整数 \(N\) を考える．

(1)　\(N\) が \(k-1\) で割り切れるときの \(k\) の値を求めよ．

(2)　\(N\) を \(k+1\) で割ったときの余りを \(k\) で表せ．

(3)　\(N\) を \(k+2\) で割ったときの余りが \(1\) となる \(k\) の値をすべて求めよ．

解答(1)

\(N=2021_{(k)}=2\times k^3+0\times k^2+2\times k+1=2k^3+2k+1\)

よって，\(N=(k-1)(2k^2+2k+4)+5\) より，\(N\) が \(k-1\) で割り切れるとき，

\(5\) は \(k-1\) で割り切れる．

\(k≧3\) より，\(k-1≧2\) なので，

\(k-1=5\) つまり，\(k=6\)

\(N=(k+1)(2k^2-2k+4)-3\) より

\(N=(k+1)\left\{(2k^2-2k+3)+1\right\}-3\\ =(k+1)( 2k^2-2k+3)+(k+1)-3\\ =(k+1)( 2k^2-2k+3)+ k-2\)

\(k≧3\) より，\(k-1≧2\) なので，\(k-2\) は

\(0≦k-2<k+1\) を満たす．

よって，\(N\) を \(k+1\) で割ったときの余りは \(k-2\)

\(N=(k+2)(2k^2-4k+10)-19\) より

\(N\) が \(k+2\) で割ったときの余りが \(1\) であるためには，

\(-19\) を \(k+2\) で割ったときの余りが \(1\) であればよい．

つまり，ある整数 \(m\) を用いて

\(-19=(k+2)m+1\)

よって，\((k+2)m=-20\)

\(k≧3\) より，\(k+2≧5\) なので，

\(k+2= 5 , 10 , 20\)

したがって，\(k= 3 , 8 , 18\)