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【2021 自治医科大学・医】整数問題・素数nとn^2-2n+3がどちらも素数

数学(大学入試問題)

【2021 自治医科大学・医[第3問]】

\(n\) を \(2\) 以上の自然数とする.

\(n\) と \(n^2-2n+3\) がどちらも素数となるときのすべての \(n\) の和を \(S\) とする.

\(\displaystyle\frac{S}{2}\) の値を求めよ.

考え方(ポイント)

まず整数問題すべてに共通して言えるPointは

  1. 積の形に変形
  2. 条件から範囲を絞る
  3. 倍数や余りに注目

整数問題の多くが、上の1〜3のいずれかで処理できます。

さらに上のポイントに加えて、方針が立たない時は次のポイントを考えましょう。

整数問題の極意 👉 実験する

※規則性や法則を見つけたい

※規則や法則を見つけ、証明を必ず与えるように!

ただ実験して規則や法則を見つけただけでは、ただの予想です!

方針が見えなければ実験!

・\(n=2\) のとき

\(n^2-2n+3=3\) より条件を満たす.

 

・\(n=3\) のとき

\(n^2-2n+3=6\) となり素数ではない.

 

・\(n=5\) のとき

\(n^2-2n+3=18\) となり素数ではない.

 

・\(n=7\) のとき

\(n^2-2n+3=38\) となり素数ではない.

 

\(n = 3 , 5 , 7 , \cdots\) のとき、

\(n^2-2n+3\) は \(2\) の倍数??と予想!

👉 これを証明できればよい!

 

解答

\(n\) を \(2\) 以上の自然数とする.

\(n\) と \(n^2-2n+3\) がどちらも素数となるときのすべての \(n\) の和を \(S\) とする.

\(\displaystyle\frac{S}{2}\) の値を求めよ.

 

・\(n=2\) のとき

\(n^2-2n+3=3\) より条件を満たす.

 

・\(n≧3\) のとき

\(n\) が素数であるならば \(n\) は奇数であるから

法を \(2\) として、

\(n ≡ 1\)

このとき

\(n^2-2n+3 ≡ 1-2+3 = 0\)

よって \(n^2-2n+3\) は \(2\) の倍数

つまり、\(n^2-2n+3\) が素数となる場合、

\(n^2-2n+3=2\) のみ

これを解くと

\(n^2-2n+1=0\\(n-1)^2=0\\n=1\)

これは \(n≧3\) に反するため、 \(n^2-2n+3\) は素数でない

 

以上より、\(n\) と \(n^2-2n+3\) がどちらも素数となる \(n\) の値は \(n=2\) のみ

つまり \(S = 2\) より\(\displaystyle\frac{S}{2} = 1\)

類題演習

考え方の類題演習として、

2018 京都大学(数学)整数問題

2021 京都大学(文系:第4問) 整数問題

にチャレンジしてみてください!

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