【2023国際基督教大学】正の約数の個数と素数

【2023国際基督教大学】

自然数 \(n\) の正の約数の個数を \(\varphi(n)\) と記すことにする．

例えば，\(\varphi(1)=1\)，\(\varphi(2)=2\)，\(\varphi(3)=2\)，\(\varphi(4)=3\)，\(\varphi(5)=1\)，\(\varphi(6)=4\)，\(\cdots\) である．

また，\(\varphi(100)=9\) であることは直ちに確かめられる．

\(n≧2\) のとき，\(1\) と \(n\) は必ず \(n\) の約数だから，\(\varphi(n)≧2\) である．また\(\varphi(n)=2\) は \(n\) が素数であることを意味する．

１．\(\varphi(2022)=\) [　ア　] である．

２．\(\varphi(n)=2\) となる \(40\) 以下の自然数 \(n\) の個数は [　イウ　] である．

３．素数 \(p\) について，\(\varphi(p^{10})=\) [　エオ　] である．

４．\(\varphi(n)=3\) となる \(100\) 以下の自然数 \(n\) の個数は [　カ　] である．

解答・解説

\(2022=2\times 3\times 337\) より

\(\varphi(2022)=2\times 2\times 2=8\) ・・・《ア》

\(\varphi(n)=2\) は \(n\) が素数であるので， \(40\) 以下の素数は

\(2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37\) の \(12\) 個・・・《イウ》

\(p\) が素数のとき \(p^10\) の約数は

\(1,p,p^2,\cdots,p^{10}\) の \(11\) 個・・・《エオ》

\(\varphi(n)=3\) となるのは，素数 \(p\) を用いて

\(n=p^2\) と表されるときのみ

よって \(100\) 以下の自然数で素数の \(2\) 乗で表される数は，

\(2^2=4\)，\(3^2=9\)，\(5^2=25\)，\(7^2=49\) の \(4\) 個・・・《カ》