【2016九州大学】sinの20°,40°,80°の2乗の和の値について三角関数証明

【2016九州大学】次の式を証明せよ．

\(\sin^220°+\sin^240°+\sin^260°+\sin^280°=\displaystyle\frac{9}{4}\)

解答・解説

様々な三角関数の公式を活用していきます。

公式に不安がある方は「【三角関数】公式まとめ&差がつく入試問題演習」

をご参考に！

半角の公式から

\(\sin^220°=\displaystyle\frac{1-\cos 40°}{2}\)

\(\sin^240°=\displaystyle\frac{1-\cos 80°}{2}\)

\(\sin^280°=\displaystyle\frac{1-\cos 160°}{2}\) より

\(\sin^220°+\sin^240°+\sin^260°+\sin^280°\)

\(=\displaystyle\frac{1-\cos 40°}{2}+\displaystyle\frac{1-\cos 80°}{2}+\left(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\displaystyle\frac{1-\cos 160°}{2}\)

\(=\displaystyle\frac{9}{4}-\displaystyle\frac{\cos 40°+\cos 80°+\cos 160°}{2}\) ・・・①

ここで，和積の公式から

\(\cos 80°+\cos 40°=2\cos\displaystyle\frac{80°+40°}{2}\cos\displaystyle\frac{80°-40°}{2}\)

\(=2\cos 60°\cos20°=\cos20°\)

また，\(\cos 160°=\cos(180°-20°)=-\cos 20°\)

よって，\(\cos 40°+\cos 80°+\cos 160°=0\) より①から

\(\sin^220°+\sin^240°+\sin^260°+\sin^280°=\displaystyle\frac{9}{4}\)

13 千葉大学｜三角関数 tan10°=tan20°tan30°tan40° を示せ

加法定理、２倍角、積和の公式など、１問で三角関数の公式を総復習。ただ公式を覚えているだけでなく、使えるかを確認するための演習にとても良い問題。