【2021北海道教育大学・問題１】
次の問いに答えなさい．
(１) \(0<\alpha<2\pi\)，\(0<\beta<2\pi\) とする．\(\cos\alpha=\cos\beta\) ならば，\(\alpha=\beta\) または \(\alpha+\beta=2\pi\) であることを示しなさい．
(２) \(0<\alpha<\displaystyle\frac{\pi}{2}\) とする．\(\cos\alpha=\displaystyle\frac{-1+\sqrt{5}}{4}\) のとき，\(\cos 2\alpha\) と \(\cos 4\alpha\) の値を求めなさい．
(３) (２)の \(\alpha\) の値を求めなさい．
(４) \(0<\beta<\displaystyle\frac{\pi}{2}\) とする．\(\cos\beta≧\displaystyle\frac{1+\sqrt{5}}{4}\) のとき，\(\beta<\displaystyle\frac{\pi}{4}\) であることを示せ．
解答・解説
(１)
\(\cos\alpha=\cos\beta\) のとき
\(\cos\alpha-\cos\beta=0\)
和積の公式を利用しましょう！
公式に不安がある方は、「【三角関数】公式まとめ&差がつく入試問題演習」を確認してください！
和積の公式から
\(-2\sin\displaystyle\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\displaystyle\frac{\alpha-\beta}{2}=0\)
よって，
\(\sin\displaystyle\frac{\alpha+\beta}{2}=0\) または \(\sin\displaystyle\frac{\alpha-\beta}{2}=0\)
\(0<\alpha<2\pi\)，\(0<\beta<2\pi\) より
\(0<\displaystyle\frac{\alpha+\beta}{2}<2\pi\)，\(-\pi<\displaystyle\frac{\alpha-\beta}{2}<\pi\) なので，
・\(\sin\displaystyle\frac{\alpha+\beta}{2}=0\) のとき，
\(\displaystyle\frac{\alpha+\beta}{2}=0\) \(\iff\) \(\alpha+\beta=2\pi\)
\(\sin\displaystyle\frac{\alpha-\beta}{2}=0\) のとき，
\(\displaystyle\frac{\alpha-\beta}{2}=0\) \(\iff\) \(\alpha=\beta\)
\(\cos A=\cos B\) となる一般的な考え方については，
「【2012京都大学】cos aθ=cos bθ，0<θ≦πとなるθがちょうど1つある正の実数(a,b)の範囲」をご参考に！
(２)
\(2\) 倍角の公式より
\(\cos 2\alpha=2\cos^2\alpha-1\)
\(\cos 2\alpha=2\left(\displaystyle\frac{-1+\sqrt{5}}{4}\right)^2-1=\displaystyle\frac{-1-\sqrt{5}}{4}\)
\(\cos 4\alpha=2\cos^2 2\alpha-1\)
\(\cos 4\alpha=2\left(\displaystyle\frac{-1-\sqrt{5}}{4}\right)^2-1=\displaystyle\frac{-1+\sqrt{5}}{4}\)
(３)
(２)の結果から
\(\cos \alpha=\cos 4\alpha\) が成り立つ．
\(0<\alpha<\displaystyle\frac{\pi}{2}\) より \(0<4\alpha<2\pi\) なので
(１)より，
\(\alpha=4\alpha\) または \(\alpha+4\alpha=2\pi\)
\(\alpha\not=0\) より \(\alpha=\displaystyle\frac{2}{5}\pi\)
(４)
(２)より，\(\cos 2\alpha=\displaystyle\frac{-1-\sqrt{5}}{4}\) なので
\(\cos(2\pi-2\alpha)=-\cos 2\alpha=\displaystyle\frac{1+\sqrt{5}}{4}\)
(３)より，\(\alpha=\displaystyle\frac{2}{5}\pi\) なので
\(\cos\displaystyle\frac{\pi}{5}=\displaystyle\frac{1+\sqrt{5}}{4}\)
\(\cos\beta≧\displaystyle\frac{1+\sqrt{5}}{4}=\cos\displaystyle\frac{\pi}{5}\)
\(0<\beta<\displaystyle\frac{\pi}{2}\) より \(\cos\beta\) は減少関数であるから，
\(\beta≦\displaystyle\frac{\pi}{5}<\displaystyle\frac{\pi}{4}\)
したがって，\(\beta<\displaystyle\frac{\pi}{4}\)
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