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【大学受験数学で使える】背理法の典型4パターン

数学(大学入試問題)

受験数学界において、2大証明法(背理法・数学的帰納法)のうちの1つである背理法について、例題を交えながら紹介していきます。少し難しい問題も扱いますが、重要テーマになりますので、背理法を使う典型4パターンをマスターしましょう!

背理法とは?

ある主張Aを証明するのに、Aでないという前提からは矛盾が生ずると示すことで行う証明法

背理法の流れについて

「ある主張Aが正しい」ことを示せ、と言う問題に対して

Step1

「主張Aは間違っている(結論を否定)」と仮定する

Step2

主張Aが間違っている前提で話を進め、矛盾を導く

Step3

主張Aが間違っていると仮定したことがダメであった

つまり主張Aは正しい!

 

なぜ背理法が有効なのか?

直接示すことが困難な問題に使用し、間接的に証明できるからです。

 

背理法を用いる典型パターン4選

① 無理数の証明

 → 有理数と仮定

② 無限に存在

 → 有限だと仮定

③ \(a=0\) の証明

 → \(a≠0\) と仮定

④ 素数

 → 1または合成数と仮定

例題① 無理数の証明

【例題】 \(\sqrt{ 2 }\) は無理数であることを証明せよ.

【解答】

\(\sqrt{ 2 }\) が有理数であると仮定する

互いに素な自然数 \(a , b\) を用いて

\(\sqrt{2} = \displaystyle \frac{a}{b}\) とおける.

よって \(a = \sqrt{2}b\)

両辺を2乗して、\(a^2 = 2b^2 \) ・・・ ①

よって、\(a^2\)は2の倍数であるから、\(a\)も2の倍数 ・・・ ② である.

自然数 \(k\) 用いて、\(a=2k\) とおける.

\(a=2k\) を①に代入して、\(4k^2 = 2b^2\)

つまり \(b^2=2k^2\)

よって、\(b^2\) は2の倍数であるから、\(b\)も2の倍数 ・・・ ③ である

 

②、③より、これは \(a , b\) が互いに素であることに矛盾する.

したがって、\(\sqrt{ 2 }\) は無理数である.

例題② 無限に存在

【例題】素数は無限に存在することを証明せよ.

【解答】

素数が有限個しかないと仮定する.

\(p_1 < p_2 < \cdots < p_n \)をすべての素数とする.

\(N=p_1p_2\cdots p_n +1\) とおくと、

\(N\) は \(p_1,…,p_n\) のいずれの素数でも割り切れないため、素数である.

しかし,\(N\) は \(p_1,…,p_n\) のいずれでもないので、矛盾する.

したがって、素数は無限に存在する

例題③ \(a=0\) の証明

【例題】\(a , b\) は有理数のとき、

\(a+b\sqrt{2}=0\) ならば \(a=b=0\) であることを証明せよ.

ただし、\(\sqrt{2}\) は無理数である.

【解答】

\(b≠0\) と仮定する.

\(a+b\sqrt{2}=0\) より \(\sqrt{2}=-\displaystyle\frac{a}{b}\) ・・・①

\(a , b\) は有理数より、①の左辺は無理数、右辺は有理数となり矛盾する.

よって、\(b=0\) である.

\(a+b\sqrt{2}=0\) に \(b=0\) を代入すると、\(a=0\)

したがって題意は示された.

例題④ 素数

【例題】\(n\) 2以上の整数とする.\(3^n-2^n\) が素数ならば \(n\) も素数であることを示せ.
※2021年京都大学(理系)の問題です
※少し難しいので、考え方については2021 京都大学(理系:第6問)整数問題【背理法】を参考にしてください。
【解答】

\(n\) が素数でないと仮定する.

\(n≧2\) より、2以上の整数 \(p , q\) を用いて \(n = pq\) と表せる.

\(3^{pq} -2^{pq}=(3^p)^q-(2^p)^q \)

\(=(3^p-2^p)\left\{(3^p)^{q-1}+(3^p)^{q-2}\cdot2^p+(3^p)^{q-3}\cdot(2^p)^2+\cdots+3^p \cdot (2^p)^{q-2}+(2^p)^{q-1}\right\}\)

 

\(3^p-2^p=(3-2)(3^{p-1}+3^{p-2}\cdot2+\cdots+2^{p-1})\) \(≧3^{p-1}+2^{p-1}\)

\(p≧2\) より

\(3^p-2^p≧3^{p-1}+2^{p-1}≧3+2=5\) ・・・①

また、

\(\left\{(3^p)^{q-1}+(3^p)^{q-2}\cdot2^p+(3^p)^{q-3}\cdot(2^p)^2+\cdots+3^p \cdot (2^p)^{q-2}+(2^p)^{q-1}\right\}\)

\(≧(3^p)^{q-1}+(2^p)^{q-1}≧3+2=5\) ・・・②

①、②より

\(3^n-2^n\) が素数とならず矛盾.

したがって\(n\) は素数となる.

最後に

いかがだったでしょうか?

2次試験で出題されることが多い典型4パターンです。

少し難しい問題もありますが、まず大切なのは、この4パターンの問題を見た時に、「背理法」で考えようと思えるかどうか。最後まで完答できなくても、方針がしっかりと立てられるように!

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