受験数学界において、２大証明法(背理法・数学的帰納法)のうちの１つである背理法について、例題を交えながら紹介していきます。少し難しい問題も扱いますが、重要テーマになりますので、背理法を使う典型４パターンをマスターしましょう！
背理法とは？
ある主張Ａを証明するのに、Ａでないという前提からは矛盾が生ずると示すことで行う証明法
背理法の流れについて
「ある主張Aが正しい」ことを示せ、と言う問題に対して
Step1
「主張Aは間違っている(結論を否定)」と仮定する
Step2
主張Aが間違っている前提で話を進め、矛盾を導く
Step3
主張Aが間違っていると仮定したことがダメであった
つまり主張Aは正しい！
なぜ背理法が有効なのか？
直接示すことが困難な問題に使用し、間接的に証明できるからです。
背理法を用いる典型パターン４選
① 無理数の証明
→ 有理数と仮定
② 無限に存在
→ 有限だと仮定
③ \(a=0\) の証明
→ \(a≠0\) と仮定
④ 素数
→ １または合成数と仮定
例題① 無理数の証明
【解答】
\(\sqrt{ 2 }\) が有理数であると仮定する
互いに素な自然数 \(a , b\) を用いて
\(\sqrt{2} = \displaystyle \frac{a}{b}\) とおける．
よって \(a = \sqrt{2}b\)
両辺を2乗して、\(a^2 = 2b^2 \) ・・・ ①
よって、\(a^2\)は2の倍数であるから、\(a\)も2の倍数 ・・・ ② である．
自然数 \(k\) 用いて、\(a=2k\) とおける．
\(a=2k\) を①に代入して、\(4k^2 = 2b^2\)
つまり \(b^2=2k^2\)
よって、\(b^2\) は2の倍数であるから、\(b\)も2の倍数 ・・・ ③ である
②、③より、これは \(a , b\) が互いに素であることに矛盾する．
したがって、\(\sqrt{ 2 }\) は無理数である．
例題② 無限に存在
【解答】
素数が有限個しかないと仮定する．
\(p_1 < p_2 < \cdots < p_n \)をすべての素数とする．
\(N=p_1p_2\cdots p_n +1\) とおくと、
\(N\) は \(p_1,…,p_n\) のいずれの素数でも割り切れないため、素数である．
しかし，\(N\) は \(p_1,…,p_n\) のいずれでもないので、矛盾する．
したがって、素数は無限に存在する
例題③ \(a=0\) の証明
【例題】\(a , b\) は有理数のとき、
\(a+b\sqrt{2}=0\) ならば \(a=b=0\) であることを証明せよ．
ただし、\(\sqrt{2}\) は無理数である．
【解答】
\(b≠0\) と仮定する．
\(a+b\sqrt{2}=0\) より \(\sqrt{2}=-\displaystyle\frac{a}{b}\) ・・・①
\(a , b\) は有理数より、①の左辺は無理数、右辺は有理数となり矛盾する．
よって、\(b=0\) である．
\(a+b\sqrt{2}=0\) に \(b=0\) を代入すると、\(a=0\)
したがって題意は示された．
例題④ 素数
\(n\) が素数でないと仮定する．
\(n≧2\) より、２以上の整数 \(p , q\) を用いて \(n = pq\) と表せる．
\(3^{pq} -2^{pq}=(3^p)^q-(2^p)^q \)
\(=(3^p-2^p)\left\{(3^p)^{q-1}+(3^p)^{q-2}\cdot2^p+(3^p)^{q-3}\cdot(2^p)^2+\cdots+3^p \cdot (2^p)^{q-2}+(2^p)^{q-1}\right\}\)
\(3^p-2^p=(3-2)(3^{p-1}+3^{p-2}\cdot2+\cdots+2^{p-1})\) \(≧3^{p-1}+2^{p-1}\)
\(p≧2\) より
\(3^p-2^p≧3^{p-1}+2^{p-1}≧3+2=5\) ・・・①
また、
\(\left\{(3^p)^{q-1}+(3^p)^{q-2}\cdot2^p+(3^p)^{q-3}\cdot(2^p)^2+\cdots+3^p \cdot (2^p)^{q-2}+(2^p)^{q-1}\right\}\)
\(≧(3^p)^{q-1}+(2^p)^{q-1}≧3+2=5\) ・・・②
①、②より
\(3^n-2^n\) が素数とならず矛盾．
したがって\(n\) は素数となる．
最後に
いかがだったでしょうか？
２次試験で出題されることが多い典型４パターンです。
少し難しい問題もありますが、まず大切なのは、この４パターンの問題を見た時に、「背理法」で考えようと思えるかどうか。最後まで完答できなくても、方針がしっかりと立てられるように！
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