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【2022高知大学・医学部】三項間漸化式の一般項と和

漸化式

【2022高知大学・医学部・第1問】

数列 \(\left\{a_{n}\right\}\) は,\(a_{1}=1\),\(a_{2}=5\) および,すべての自然数 \(n\) に対して,

\(a_{n+2}=4a_{n+1}-3a_{n}-4\)

をみたすとする.このとき,次の問いに答えよ.

(1) \(a_{3}\),\(a_{4}\),\(a_{5}\) を求めよ.

(2) すべての自然数 \(n\) に対して,\(b_{n}=a_{n+1}-a_{n}\) で数列 \(\left\{b_{n}\right\}\) を定義する.一般項 \(b_{n}\) を求めよ.

(3) 一般項 \(a_{n}\) を求めよ.

(4) \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{a_{k}}\) を求めよ.

解答・解説

(1) \(a_{3}\),\(a_{4}\),\(a_{5}\)

\(a_{3}=4a_{2}-3a_{1}-4=4\cdot 5-3\cdot 1-4=13\)

\(a_{4}=4a_{3}-3a_{2}-4=4\cdot 13-3\cdot 5-4=33\)

\(a_{5}=4a_{4}-3a_{3}-4=4\cdot 33-3\cdot 13-4=89\)

よって,\(a_{3}=13\),\(a_{4}=33\),\(a_{5}=89\)

(2) \(b_{n}=a_{n+1}-a_{n}\) のとき,一般項 \(b_{n}\)

\(a_{n+2}=4a_{n+1}-3a_{n}-4\)

\(\iff\) \(a_{n+2}-a_{n+1}=3(a_{n+1}-a_{n})-4\)

\(\iff\) \(b_{n+1}=3b_{n}-4\) ・・・①

頻出の二項間漸化式の形に帰着しました!

漸化式のパターン解法については,

【漸化式】有名・頻出13パターン解法まとめ|数学B数列

をご確認ください!

特性方程式を解くと

\(\alpha=3\alpha-4\) \(\iff\) \(\alpha=2\) より

① \(\iff\) \(b_{n+1}-2=3(b_{n}-2)\)

数列 \(\left\{b_{n}-2\right\}\) は初項:\(b_{1}-2=a_{2}-a_{1}-2=2\),公比:\(3\) の等比数列であるから

\(b_{n}-2=2\cdot 3^{n-1}\)

よって,\(b_{n}=2\cdot 3^{n-1}+2\)

(3) 一般項 \(a_{n}\)

(2)の結果から \(a_{n+1}-a_{n}=2\cdot 3^{n-1}+2\)

階差数列の形に帰着しました!

漸化式のパターン解法については,

【漸化式】有名・頻出13パターン解法まとめ|数学B数列

をご確認ください!

\(n≧2\) のとき,

\(a_{n}=a_{1}+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}{\left(2\cdot 3^{k-1}+2\right)}\)

\(a_{n}=1+2\cdot\displaystyle\frac{3^{n-1}-1}{3-1}+2(n-1)\)

\(a_{n}=3^{n-1}+2n-2\)

ここで \(n=1\) のとき,\(a_{1}=1+2-2=1\) となり成り立つ.

したがって,\(a_{n}=3^{n-1}+2n-2\)

(4) \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{a_{k}}\)

(3)の結果から

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{a_{k}}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{\left(3^{k-1}+2k-2\right)}\)

\(=\displaystyle\frac{3^n-1}{3-1}+2\cdot\displaystyle\frac{1}{2}n(n+1)-2n\)

したがって,\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{a_{k}}=\displaystyle\frac{3^n}{2}+n^2-n-\displaystyle\frac{1}{2}\)

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