【2022高知大学・医学部・第１問】
数列 \(\left\{a_{n}\right\}\) は，\(a_{1}=1\)，\(a_{2}=5\) および，すべての自然数 \(n\) に対して，
\(a_{n+2}=4a_{n+1}-3a_{n}-4\)
をみたすとする．このとき，次の問いに答えよ．
(１) \(a_{3}\)，\(a_{4}\)，\(a_{5}\) を求めよ．
(２) すべての自然数 \(n\) に対して，\(b_{n}=a_{n+1}-a_{n}\) で数列 \(\left\{b_{n}\right\}\) を定義する．一般項 \(b_{n}\) を求めよ．
(３) 一般項 \(a_{n}\) を求めよ．
(４) \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{a_{k}}\) を求めよ．
解答・解説
(１) \(a_{3}\)，\(a_{4}\)，\(a_{5}\)
\(a_{3}=4a_{2}-3a_{1}-4=4\cdot 5-3\cdot 1-4=13\)
\(a_{4}=4a_{3}-3a_{2}-4=4\cdot 13-3\cdot 5-4=33\)
\(a_{5}=4a_{4}-3a_{3}-4=4\cdot 33-3\cdot 13-4=89\)
よって，\(a_{3}=13\)，\(a_{4}=33\)，\(a_{5}=89\)
(２) \(b_{n}=a_{n+1}-a_{n}\) のとき，一般項 \(b_{n}\)
\(a_{n+2}=4a_{n+1}-3a_{n}-4\)
\(\iff\) \(a_{n+2}-a_{n+1}=3(a_{n+1}-a_{n})-4\)
\(\iff\) \(b_{n+1}=3b_{n}-4\) ・・・①
特性方程式を解くと
\(\alpha=3\alpha-4\) \(\iff\) \(\alpha=2\) より
① \(\iff\) \(b_{n+1}-2=3(b_{n}-2)\)
数列 \(\left\{b_{n}-2\right\}\) は初項：\(b_{1}-2=a_{2}-a_{1}-2=2\)，公比：\(3\) の等比数列であるから
\(b_{n}-2=2\cdot 3^{n-1}\)
よって，\(b_{n}=2\cdot 3^{n-1}+2\)
(３) 一般項 \(a_{n}\)
(２)の結果から \(a_{n+1}-a_{n}=2\cdot 3^{n-1}+2\)
\(n≧2\) のとき，
\(a_{n}=a_{1}+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}{\left(2\cdot 3^{k-1}+2\right)}\)
\(a_{n}=1+2\cdot\displaystyle\frac{3^{n-1}-1}{3-1}+2(n-1)\)
\(a_{n}=3^{n-1}+2n-2\)
ここで \(n=1\) のとき，\(a_{1}=1+2-2=1\) となり成り立つ．
したがって，\(a_{n}=3^{n-1}+2n-2\)
(４) \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{a_{k}}\)
(３)の結果から
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{a_{k}}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{\left(3^{k-1}+2k-2\right)}\)
\(=\displaystyle\frac{3^n-1}{3-1}+2\cdot\displaystyle\frac{1}{2}n(n+1)-2n\)
したがって，\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{a_{k}}=\displaystyle\frac{3^n}{2}+n^2-n-\displaystyle\frac{1}{2}\)
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