【2023慶応義塾大学・薬学部】x≧0で3次関数f(x)≧0が常に成り立つ条件

【2023慶応義塾大学・薬学部・第１問(３)】

\(a\) , \(b\) を実数とし，実数 \(x\) の関数 \(f(x)\) を \(f(x)=x^3+ax^2+bx-6\) とおく．方程式 \(f(x)=0\) は \(x=-1\) を解に持ち，\(f^{\prime}(-1)=-7\) である．

( ⅰ )　\(a=\) [ オ ] ，\(b=\) [ カ ] である．

( ⅱ )　\(c\) は正の実数とする．\(f(x)≧3x^2+4(3c-1)x-16\) が \(x≧0\) において常に成立するとき，\(c\) の値の範囲は [ キ ] である．

考え方・Point

ある範囲で \(f(x)≧0\) が成立

→ (ある範囲における \(f(x)\) の最小値)\(≧0\)

(※厳密には最小値でなく下限)

そもそも不等式とは、両辺のグラフの上下関係を表した式である．

つまり、\(f(x)≧0\) が成り立つと言うことは、

\(y=f(x)\) のグラフが、\(y=0\) ( \(x\) 軸 ) より上側(または接する)

視覚的には下図のようなイメージ

この図の状況を満たすためには、(\(f(x)\) の最小値) \(≧0\)

であれば、\(y=f(x)\) のグラフは \(y=0\) ( \(x\) 軸 ) より上側(または接する)にあり、条件を満たすことが出来る。

※ざっくり言うと、一番低いところが浮いていたら、残りのグラフも浮いている

\(f(x)=x^3+ax^2+bx-6\) において

\(f(-1)=0\) より \(a-b=7\) ・・・①

\(f^{\prime}(x)=3x^2+2ax+b\) で \(f^{\prime}(-1)=-7\) より

\(-2a+b=-10\) ・・・②

①，②より \(a=3\) ，\(b=-4\) ・・・[ オカ ]

よって，\(f(x)=x^3+3x^2-4x-6\)

\(f(x)≧3x^2+4(3c-1)x-16\)

\(\iff\) \(x^3-12cx+10≧0\)

ここで \(f(x)=x^3-12cx+10\) とおくと

\(x≧0\) において \(g(x)≧0\) が常に成立する \(c\) を求めればよい．

\(g^{\prime}(x)=3x^2-12c=3(x^2-4c)\)

\(g^{\prime}(x)=0\) のとき \(x=\pm 2\sqrt{c}\)

\(x≧0\) において \(g(x)≧0\) が常に成立するためには

\(g(2\sqrt{c})≧0\) をみたせばよい．

\(g(2\sqrt{c})=-16c\sqrt{c}+10≧0\)

\(c\sqrt{c}≦\displaystyle\frac{5}{8}\)

\(c^{\frac{3}{2}}≦\displaystyle\frac{5}{8}\)

\(c≦\left(\displaystyle\frac{5}{8}\right)^{\frac{2}{3}}=\displaystyle\frac{\sqrt[3]{25}}{4}\)

\(c\) は正の実数より

\(0<c≦\displaystyle\frac{\sqrt[3]{25}}{4}\) ・・・[ キ ]