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【2022共通テスト】数学ⅡB:第1問[2](指数関数・対数関数)

数学(大学入試問題)

【2022数学ⅡB】第1問[2](指数・対数関数)

(1)問題と解答・解説《ス〜セ》

解答・解説《ス〜セ》

\(\log_{3}{9}=\log_{3}{3^2}=2\log_{3}{3}=\)\(2\) ・・・《ス》

\(\log_{3}{9}=\displaystyle\frac{\log_{3}{3}}{\log_{3}{9}}=\displaystyle\frac{1}{2}\) である

よって,\(\log_{3}{9}>\log_{9}{3}\) が成り立つ

また,\(\log_{\frac{1}{4}}{x}=-\displaystyle\frac{3}{2}\)

\(\iff\) \(x=\left(\displaystyle\frac{1}{4}\right)^{-\frac{3}{2}}=4^{\frac{3}{2}}=\left(2^2\right)^{\frac{3}{2}}=\)\(8\) ・・・《セ》

\(\log_{8}{\displaystyle\frac{1}{4}}=\displaystyle\frac{\log_{2}{\displaystyle\frac{1}{4}}}{\log_{2}{8}}=-\displaystyle\frac{2}{3}\) より

\(\log_{\frac{1}{4}}{8}<\log_{8}{\displaystyle\frac{1}{4}}\)

(2)問題と解答・解説《ソ〜タ》

解答・解説《ソ〜タ》

\(\log_{a}{b}=t\) ・・・① とおくと

\(a^t=b\) ・・・《ソ:①》

両辺を \(\displaystyle\frac{1}{t}\) 乗して

\(a=b^{\frac{1}{t}}\) ・・・《タ:①》

よって,\(\log_{b}{a}=\displaystyle\frac{1}{t}\) ・・・② が成り立つ.

(3)問題と解答・解説《チ〜ツ》

解答・解説《チ〜ツ》

\(t>\displaystyle\frac{1}{t}\) ・・・③ を満たす実数 \(t\) ( \(t\not=0\) ) の値の範囲は

・\(t>0\) のとき \(t>1\)

・\(t<0\) のとき \(-1<t<0\)

ここで,\(a\) の値を一つ定めたとき

\(\log_{a}{b}>\log_{b}{a}\) ・・・④ について

( ⅰ ) \(a>1\) のとき

・\(b>1\) ならば,\(t=\log_{a}{b}>\log_{a}{1}=0\) より \(t>1\)

つまり,\(\log_{a}{b}>1=\log_{a}{a}\)

よって,\(b>a\)

・\(0<b<1\) ならば,\(t=\log_{a}{b}<\log_{a}{1}=0\) より \(-1<t<0\)

つまり,\(-1<\log_{a}{b}<0\) \(\iff\) \(\log_{a}{\displaystyle\frac{1}{a}}<\log_{a}{b}<\log_{a}{1}\)

よって,\(\displaystyle\frac{1}{a}<b<1\)

以上から,\(a>1\) のとき \(\displaystyle\frac{1}{a}<b<1\) , \(a<b\) ・・・《チ:③》

( ⅱ ) \(0<a<1\) のとき

・\(b>1\) ならば,\(t=\log_{a}{b}<\log_{a}{1}=0\) より \(-1<t<0\)

つまり,\(-1<\log_{a}{b}<0\) \(\iff\) \(\log_{a}{\displaystyle\frac{1}{a}}<\log_{a}{b}<\log_{a}{1}\)

よって,\(1<b<\displaystyle\frac{1}{a}\)

・\(0<b<1\) ならば,\(t=\log_{a}{b}>\log_{a}{1}=0\) より \(1<t\)

つまり,\(1<\log_{a}{b}\) \(\iff\) \(\log_{a}{a}<\log_{a}{b}\)

よって,\(b<a\)

以上から,\(0<a<1\) のとき \(0<b<a\) , \(1<b<\displaystyle\frac{1}{a}\) ・・・《ツ:⓪》

(4)問題と解答・解説《テ》

解答・解説《テ》

\(p=\displaystyle\frac{12}{13}<1\) , \(q=1+\displaystyle\frac{1}{11}\) , \(r=1+\displaystyle\frac{1}{13}\) より,

\(0<p<1<r<q\)

さらに,

\(pq=\displaystyle\frac{12}{13}\times \displaystyle\frac{12}{11}=\displaystyle\frac{144}{143}>1\) より,\(\displaystyle\frac{1}{p}<q\)

\(pr=\displaystyle\frac{12}{13}\times \displaystyle\frac{14}{13}=\displaystyle\frac{168}{169}<1\) より,\(r<\displaystyle\frac{1}{p}\)

が成り立つ.

\(\log_{p}{q}>\log_{q}{p}\) が成り立つと仮定(選択肢の⓪または①)すると,

\(0<p<1\) であることに注目すると,(3)において \(a=p\) , \(b=q\) と考えると

\(0<q<p\) , \(1<q<\displaystyle\frac{1}{p}\) のとき

しかしこれは上の条件を満たさないため不適.

よって,\(\log_{p}{q}<\log_{q}{p}\) が成り立つ(選択肢の②または③)

 

また,\(\log_{p}{r}>\log_{r}{p}\) が成り立つ(選択肢の②)とすると

(3)において \(a=p\) , \(b=r\) と考えると

\(o<r<p\) , \(1<r<\displaystyle\frac{1}{p}\) のとき

\(p\) , \(r\) は \(1<r<\displaystyle\frac{1}{p}\) を満たすので,\(\log_{p}{r}>\log_{r}{p}\)

したがって,\(\log_{p}{q}<\log_{q}{p}\) かつ \(\log_{p}{r}>\log_{r}{p}\) ・・・《テ:②》

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