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【2016北海道大・文・第4問】整数問題|条件から範囲を絞る(必要条件)

数学(大学入試問題)

【2016北海道大・文・第4問】

\(x\)、\(y\) を自然数とする.

(1) \(\displaystyle\frac{3x}{x^2+2}\) が自然数であるような \(x\) をすべて求めよ.

(2) \(\displaystyle\frac{3x}{x^2+2}+\displaystyle\frac{1}{y}\) が自然数であるような組 \(( x , y )\) をすべて求めよ.

整数問題のPoint

まず整数問題すべてに共通して言えるPointは

  1. 積の形に変形
  2. 条件から範囲を絞る
  3. 倍数や余りに注目

整数問題の多くが、上の1から3のいずれかで処理できます。

本問では「2.条件から範囲を絞る」を利用を中心に考えていく問題になります。

今回の問題とは違う、様々なタイプの条件から範囲を絞る演習として

【整数問題】整数方程式(積の形・範囲の絞り込み・解と係数の関係)

を参考に!

考え方と解答

以下では、どのように考えながら解答を作成していくか、考え方と解答を交互に説明していきます。

(1)の考え方・解答

\(\displaystyle\frac{3x}{x^2+2}\) が自然数であるためには、

(分子) ≧ (分母) が成立しないとダメ!

\(\displaystyle\frac{3x}{x^2+2}\) が自然数であるためには、

\(3x≧x^2+2\) であることが必要である.

よって、\(x^2-3x+2≦0 \iff (x-1)(x-2)≦0 \iff 1≦x≦2\)

したがって、\(x\) は自然数であるから、\(x = 1 , 2\)

ここで求めた \(x = 1 , 2\) は、最低限の条件(必要条件)であって、そのときに自然数になるかどうか保証はない!

だから代入して答えのチェック(十分条件の確認)をしよう!

\(x=1\) のとき \(\displaystyle\frac{3x}{x^2+2}=\displaystyle\frac{3}{3}=1\)

\(x=2\) のとき \(\displaystyle\frac{3x}{x^2+2}=\displaystyle\frac{6}{6}=1\) となりともに成立する.

以上より、求める \(x\) は、\(x = 1 , 2\)

(2)の考え方・解答

(1)の結果より、

\(x = 1 , 2\) のとき、\(\displaystyle\frac{3x}{x^2+2}=1\)

\(x≧3\) のとき、\(0<\displaystyle\frac{3x}{x^2+2}<1\)

となることが分かったので、それぞれの場合について \(y\) の値がどうなるかを考えよう!

(ⅰ) \(x = 1 , 2\) のとき

\(\displaystyle\frac{3x}{x^2+2}=1\) であるから、

\(\displaystyle\frac{3x}{x^2+2}+\displaystyle\frac{1}{y}=1+\displaystyle\frac{1}{y}\)

これが自然数であるためには、\(\displaystyle\frac{1}{y}\) が自然数でなければいけない.

よって、求める自然数 \(y=1\) のみ

したがって、\(( x , y )=( 1 , 1 ) , ( 2 , 1 )\)

 

(ⅱ) \(x≧3\) のとき

\(0<\displaystyle\frac{3x}{x^2+2}<1\) ・・・①

このとき、\(y=1\) とすると、

\(\displaystyle\frac{3x}{x^2+2}+\displaystyle\frac{1}{y}=\displaystyle\frac{3x}{x^2+2}+1\) となり、自然数にならない.

よって、\(y≧2\) であることが分かる.

\(y≧2\) のとき\(0<\displaystyle\frac{1}{y}≦\displaystyle\frac{1}{2}<1\) ・・・②

\(0<A<1\) かつ \(0<B<1\) のとき

\(0<A+B<2\) となるから、\(A+B\) が自然数になるためには、

\(A+B=1\) とならなければいけないね!

①、②より、

\(\displaystyle\frac{3x}{x^2+2}+\displaystyle\frac{1}{y}\) が自然数となるのは、

\(\displaystyle\frac{3x}{x^2+2}+\displaystyle\frac{1}{y}=1\) のときのみ.

よって、\(\displaystyle\frac{1}{y}=1-\displaystyle\frac{3x}{x^2+2}=\displaystyle\frac{x^2-3x+2}{x^2+2}\)

\(x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\) であり、\(x≧3\) のときを考えているため、

\(x^2-3x+2\not=0\) であるから逆数をとると、

\(y=\displaystyle\frac{x^2+2}{x^2-3x+2}\)

CHECK

(分母の次数)≧(分子の次数) ⇒ 次数下げ!

\(x^2+2=(x^2-3x+2)\times 1+3x\) より、

\(y=\displaystyle\frac{(x^2-3x+2)\times 1+3x}{x^2-3x+2}=1+\displaystyle\frac{3x}{x^2-3x+2}\)

\(y\) が自然数であるためには、\(\displaystyle\frac{3x}{x^2-3x+2}\) も自然数でなければならない.

(1)と同様に考えると、

\(3x≧x^2-3x+2\) である必要がある.

\(x^2-6x+2≦0 \iff 3-\sqrt{7}≦x≦3+\sqrt{7}\) ・・・③

\(2<\sqrt{7}<3\) であり、また \(x≧3\) であるので、③を満たす自然数 \(x\) は、

\(x = 3 , 4 , 5\)

\(x=3\) のとき \(y=\displaystyle\frac{11}{2}\) となり不適
\(x=4\) のとき \(y=3\) となり適する
\(x=5\) のとき \(y=\displaystyle\frac{9}{4}\) となり不適
よって、\(( x , y )=( 4 , 3 )\)
以上より、求める \(( x , y )\) の組は、
\(( x , y )=( 1 , 1 ) , ( 2 , 1 ) , ( 4 , 3 )\)

 

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