【2023京都大学・理系・第４問】
次の関数 \(f(x)\) の最大値と最小値を求めよ．
\(f(x)=e^{-x^2}+\displaystyle\frac{1}{4}x^2+1+\displaystyle\frac{1}{e^{-x^2}+\displaystyle\frac{1}{4}x^2+1}\) \(\left( -1≦x≦1\right)\)
ただし，\(e\) は自然対数の底であり，その値は \(e=2.71\cdots\) である．
解答・解説
\(g(x)=e^{-x^2}+\displaystyle\frac{1}{4}x^2+1\) とおくと
\(g(-x)=g(x)\) より \(y=g(x)\) は \(y\) 軸に関して対象なグラフであるから
\(0≦x≦1\) について考えれば良い．
最大・最小値の問題を見ると，とりあえず微分したくなりますが，
まず初めに「偶関数・奇関数」について疑う習慣を！
これに気がつけるかどうかで，後々の計算量が半分に！！
\(g^{\prime}(x)=-2xe^{-x^2}+\displaystyle\frac{1}{2}x=-2x\left(e^{-x^2}-\displaystyle\frac{1}{4}\right)\)
\(0<x<1\) のとき
\(-1<-x^2<0\)
\(\displaystyle\frac{1}{e}<e^{-x^2}<1\) なので
\(e^{-x^2}-\displaystyle\frac{1}{4}>\displaystyle\frac{1}{e}-\displaystyle\frac{1}{4}=\displaystyle\frac{4-e}{4e}>0\)
よって \(g^{\prime}(x)<0\)
つまり \(g(x)\) は単調に減少する
ゆえに \(g(x)\) のとりうる値の範囲は
\(g(1)≦g(x)≦g(0)\)
\(\displaystyle\frac{1}{e}+\displaystyle\frac{5}{4}≦g(x)≦2\)
ここで \(t=g(x)\) とおくと
\(f(x)=t+\displaystyle\frac{1}{t}\) \(\left(\displaystyle\frac{1}{e}+\displaystyle\frac{5}{4}≦t≦2\right)\) の最大値・最小値を考えればよい．
\(h(t)=t+\displaystyle\frac{1}{t}\) とおくと
\(h^{\prime}(t)=1-\displaystyle\frac{1}{t^2}\)
\(\displaystyle\frac{1}{e}+\displaystyle\frac{5}{4}≦t≦2\) において
\(h^{\prime}(t)>0\) より
\(h(t)\) は単調に増加する．
したがって \(h\left(\displaystyle\frac{1}{e}+\displaystyle\frac{5}{4}\right)≦h(t)≦h(2)\)
\(\displaystyle\frac{1}{e}+\displaystyle\frac{5}{4}+\displaystyle\frac{4e}{4+5e}≦h(t)≦\displaystyle\frac{5}{2}\)
以上から，
最大値：\(\displaystyle\frac{1}{e}+\displaystyle\frac{5}{4}+\displaystyle\frac{4e}{4+5e}\)
最小値：\(\displaystyle\frac{5}{2}\)
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