【2020和歌山県立医科大学・医学部・第２問】
複素数 \(\alpha\) ，\(\beta\) についての等式
\(\displaystyle\frac{1}{\alpha}+\displaystyle\frac{1}{\beta}=\overline{\alpha}+\overline{\beta}\)
を考える．
(１) \(|\alpha|=1\) ，\(|\beta|=1\) のとき，この等式が成立することを示せ．
(２) この等式をみたす \(\alpha\) ，\(\beta\) については， \(\alpha+\beta=0\) ，または \(|\alpha\beta|=1\) となることを示せ．
(３) 極形式で \(\alpha=r(\cos\theta+i\sin \theta)\) と表されているとき，この等式をみたす \(\beta\) を求めよ．
解答・解説
(１)
\(|\alpha|=1\) より
\(|\alpha|^2=\alpha\cdot\overline{\alpha}=1\)
\(\alpha\not=0\) より \(\overline{\alpha}=\displaystyle\frac{1}{\alpha}\)
同様に \(|\beta|=1\) より \(\overline{\beta}=\displaystyle\frac{1}{\beta}\)
したがって，
\(\displaystyle\frac{1}{\alpha}+\displaystyle\frac{1}{\beta}=\overline{\alpha}+\overline{\beta}\)
が成り立つ．
(２)
背理法で考える．
\(\alpha+\beta\not=0\) かつ \(|\alpha\beta|\not=1\) と仮定する．
\(\displaystyle\frac{1}{\alpha}+\displaystyle\frac{1}{\beta}=\overline{\alpha}+\overline{\beta}\) より
\(\alpha+\beta=\alpha\beta(\overline{\alpha}+\overline{\beta})\)
ここで \(z=\alpha+\beta\) とおくと，
\(\alpha+\beta\not=0\) より \(z\not=0\) ，\(\overline{z}\not=0\)
\(z=\alpha\beta\overline{z}\) より
\(\alpha\beta=\displaystyle\frac{z}{\overline{z}}\)
このとき
\(|\alpha\beta|^2=(\alpha\beta)(\overline{\alpha\beta})=\displaystyle\frac{z}{\overline{z}}\cdot\displaystyle\frac{\overline{z}}{z}=1\)
よって，\(|\alpha\beta|=1\) となり仮定に矛盾する．
したがって題意は成立する．
(３)
(２)より \(\alpha+\beta=0\) または \(|\alpha\beta|=1\) と
( ⅰ ) \(\alpha+\beta=0\) のとき
\(\beta=-\alpha=-r(\cos\theta+i\sin \theta)\)
( ⅱ ) \(|\alpha\beta|=1\) のとき
\(|\alpha|=r\) より，\(|\beta|=\displaystyle\frac{1}{|\alpha|}=\displaystyle\frac{1}{r}\) より，
また，
\(\displaystyle\frac{1}{\alpha}+\displaystyle\frac{1}{\beta}=\overline{\alpha}+\overline{\beta}\) より
\(\alpha+\beta=\alpha\beta(\overline{\alpha}+\overline{\beta})\)
\(\alpha+\beta=|\alpha|^2\beta+|\beta|^2\alpha\)
\(\alpha+\beta=r^2\beta+\displaystyle\frac{1}{r^2}\alpha\)
\((r^2-1)\beta=\displaystyle\frac{r^2-1}{r^2}\alpha\)
(ア) \(r\not=1\) のとき
\(r^2-1\not=0\) より
\(\beta=\displaystyle\frac{1}{r^2}\alpha=\displaystyle\frac{1}{r}(\cos\theta+i\sin \theta)\)
(イ) \(r=1\) のとき
\(|\beta|=1\) をみたす任意の複素数
したがって，
・\(r\not=1\) のとき
\(\beta=-r(\cos\theta+i\sin \theta)\) ，\(\displaystyle\frac{1}{r}(\cos\theta+i\sin \theta)\)
・\(r=1\) のとき
絶対値が \(1\) となる任意の複素数全体
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