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【2020和歌山県立医科大学・医学部】複素数1/α+1/β=α(バー)+β(バー)のとき、α+β=1または|αβ|=1

複素数平面

【2020和歌山県立医科大学・医学部・第2問】

複素数 \(\alpha\) ,\(\beta\) についての等式

\(\displaystyle\frac{1}{\alpha}+\displaystyle\frac{1}{\beta}=\overline{\alpha}+\overline{\beta}\)

を考える.

(1) \(|\alpha|=1\) ,\(|\beta|=1\) のとき,この等式が成立することを示せ.

(2) この等式をみたす \(\alpha\) ,\(\beta\) については, \(\alpha+\beta=0\) ,または \(|\alpha\beta|=1\) となることを示せ.

(3) 極形式で \(\alpha=r(\cos\theta+i\sin \theta)\) と表されているとき,この等式をみたす \(\beta\) を求めよ.

解答・解説

(1)

\(|\alpha|=1\) より

\(|\alpha|^2=\alpha\cdot\overline{\alpha}=1\)

\(\alpha\not=0\) より \(\overline{\alpha}=\displaystyle\frac{1}{\alpha}\)

同様に \(|\beta|=1\) より \(\overline{\beta}=\displaystyle\frac{1}{\beta}\)

したがって,

\(\displaystyle\frac{1}{\alpha}+\displaystyle\frac{1}{\beta}=\overline{\alpha}+\overline{\beta}\)

が成り立つ.

(2)

背理法で考える.

\(\alpha+\beta\not=0\) かつ \(|\alpha\beta|\not=1\) と仮定する.

\(\displaystyle\frac{1}{\alpha}+\displaystyle\frac{1}{\beta}=\overline{\alpha}+\overline{\beta}\) より

\(\alpha+\beta=\alpha\beta(\overline{\alpha}+\overline{\beta})\)

ここで \(z=\alpha+\beta\) とおくと,

\(\alpha+\beta\not=0\) より \(z\not=0\) ,\(\overline{z}\not=0\)

\(z=\alpha\beta\overline{z}\) より

\(\alpha\beta=\displaystyle\frac{z}{\overline{z}}\)

このとき

\(|\alpha\beta|^2=(\alpha\beta)(\overline{\alpha\beta})=\displaystyle\frac{z}{\overline{z}}\cdot\displaystyle\frac{\overline{z}}{z}=1\)

よって,\(|\alpha\beta|=1\) となり仮定に矛盾する.

したがって題意は成立する.

(3)

(2)より \(\alpha+\beta=0\) または \(|\alpha\beta|=1\) と

( ⅰ ) \(\alpha+\beta=0\) のとき

\(\beta=-\alpha=-r(\cos\theta+i\sin \theta)\)

 

( ⅱ ) \(|\alpha\beta|=1\) のとき

\(|\alpha|=r\) より,\(|\beta|=\displaystyle\frac{1}{|\alpha|}=\displaystyle\frac{1}{r}\) より,

また,

\(\displaystyle\frac{1}{\alpha}+\displaystyle\frac{1}{\beta}=\overline{\alpha}+\overline{\beta}\) より

\(\alpha+\beta=\alpha\beta(\overline{\alpha}+\overline{\beta})\)

\(\alpha+\beta=|\alpha|^2\beta+|\beta|^2\alpha\)

\(\alpha+\beta=r^2\beta+\displaystyle\frac{1}{r^2}\alpha\)

\((r^2-1)\beta=\displaystyle\frac{r^2-1}{r^2}\alpha\)

(ア) \(r\not=1\) のとき

\(r^2-1\not=0\) より

\(\beta=\displaystyle\frac{1}{r^2}\alpha=\displaystyle\frac{1}{r}(\cos\theta+i\sin \theta)\)

(イ) \(r=1\) のとき

\(|\beta|=1\) をみたす任意の複素数

 

したがって,

・\(r\not=1\) のとき

\(\beta=-r(\cos\theta+i\sin \theta)\) ,\(\displaystyle\frac{1}{r}(\cos\theta+i\sin \theta)\)

・\(r=1\) のとき

絶対値が \(1\) となる任意の複素数全体

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