【2023京都大学・理系・第５問】線分PQの通過してできる立体の体積

解答・解説

求める立体は，\(-1≦x≦1\) の範囲にあり，\(yz\) 平面に関して対称な立体なので

\(0≦x≦1\) の体積を求めて，\(2\) 倍すればよい．

\(P(p,0,0)\) とおく．( \(0≦p≦1\) )

条件 (\(c\)) より \(OQ=1-p\)

ここで平面 \(x=t\) ( \(0≦t≦p\) ) と線分 \(PQ\) の共有点を \(R\) とし，

点 \(R\) から \(x\) 軸に下ろした垂線の足を \(S\) とすると

\(\triangle PRS\) と \(\triangle PQO\) は相似な図形であるから

\(PS\)：\(SR=PO\)：\(OQ\)

\(p-t\)：\(SR=p\)：\(1-p\)

\(SR=\displaystyle\frac{(p-t)(1-p)}{p}=-p-\displaystyle\frac{t}{p}+t+1\)

\(f(p)=-p-\displaystyle\frac{t}{p}+t+1\) ( \(t≦p≦1\) ) とおく．

\(f^{\prime}(p)=-1+\displaystyle\frac{t}{p^2}=\displaystyle\frac{t-p^2}{p^2}\)

よって，\(p=\sqrt{t}\) で \(f(p)\) は

最大値：\(\left(1-\sqrt{t}\right)^2\) をとる．

ゆえに，線分 \(PQ\) が通過してできる立体を \(T\) とすると

\(T\) の平面 \(x=t\) による断面は

半径 \(\left(1-\sqrt{t}\right)^2\) の円の周および内部

したがって求める体積 \(V\) は

\(V=2\displaystyle\int^{1}_{0}\pi \left\{\left(1-\sqrt{t}\right)^2\right\}^2dt\)

\(=2\pi\displaystyle\int^{1}_{0} \left(t^2-4t^{\frac{3}{2}}+6t-4t^{\frac{1}{2}}+1\right)dt\)

\(=2\pi\Bigl[\displaystyle\frac{1}{3}t^3-\displaystyle\frac{8}{5}t^{\frac{5}{2}}+3t^2-\displaystyle\frac{8}{3}t^{\frac{3}{2}}+t\Bigr]^{1}_{0}\)

\(=\displaystyle\frac{2}{15}\pi\)