チェビシェフの多項式
\(\cos \) で成り立つ性質ということは，\(\sin \) でも成り立ちますか？？
残念ながら，\(\sin\) ではうまくいきません！
ここでは説明は省略しますが，\(\sin n \theta\) は\(\sin \theta\) と\(\cos \theta\) の \(n-1\) 次多項式の積で表されることがわかっています！
具体例(\(n=1,2,3,4\) )
確かに\(\cos n \theta\) は， \(\cos \theta\) の \(n\) 次多項式で表せそうですね！
さらに，最高次の係数は，\(2^{n-1}\) になることも予想できます！
チェビシェフの多項式と漸化式
すべての自然数 \(n\) に対して，\(\cos n \theta=T_{n}(\cos \theta)\) で表せる．
\(T_{1}(x)=x\) ，\(T_{2}(x)=2x^2-1\)
\(T_{n+2}(x)=2xT_{n+1}(x)-T_{n}(x)\)
下記でこの三項間の漸化式が成立することを証明しましょう！
チェビシェフの多項式(証明)
\(n=1,2\) のとき，\(T_{1}(x)=x\) ，\(T_{2}(x)=2x^2-1\) が成立することは明らか．
三角関数の加法定理より
\(\cos(n+1) \theta=\cos n \theta\cos \theta-\sin n \theta\sin \theta\)
\(\cos(n-1) \theta=\cos n \theta\cos \theta+\sin n \theta\sin \theta\)
\(2\) 式を加えると
\(\cos(n+1) \theta+\cos(n-1) \theta=2\cos n \theta\cos \theta\)
\(\cos(n+1) \theta=2\cos n \theta\cos \theta-\cos(n-1) \theta\)
よって，
\(\cos(n+2) \theta=2\cos \theta\cos(n+1) \theta-\cos n \theta\)
であるから，
\(T_{n+2}(x)=2xT_{n+1}(x)-T_{n}(x)\) が成立．
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