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【2023京都大学・理系・第6問】三角関数とチェビシェフの多項式

2023年入試問題

【2023京都大学・理系・第6問】

\(p\) を \(3\) 以上の素数とする.また,\(\theta\) を実数とする.

(1) \(\cos 3\theta\) と\(\cos 4\theta\) を \(\cos \theta\) の式として表せ.

(2) \(\cos \theta=\displaystyle\frac{1}{p}\) のとき,\(\theta=\displaystyle\frac{m}{n}\cdot\pi\) となるような正の整数 \(m\),\(n\) が存在するか否か理由をつけて判定せよ.

解答・解説

(1) \(\cos 3\theta\),\(\cos 4\theta\) を \(\cos \theta\) の式で表せ.

\(\cos 3\theta=\cos(2\theta+\theta)\)

\(=\cos 2\theta\cos \theta-\sin 2\theta\sin \theta\)

\(=(2\cos^2\theta-1)\cos \theta-2\sin^2\theta\cos \theta\)

\(=2\cos^3\theta-\cos \theta-2(1-\cos^2\theta)\cos \theta\)

\(=4\cos^3\theta-3\cos \theta\)

 

\(\cos 4\theta=\cos(2\times 2\theta)\)

\(=2\left(\cos 2\theta\right)^2-1\)

\(=2\left(2\cos^2\theta-1\right)^2-1\)

\(=8\cos^4\theta-8\cos^2\theta+1\)

(2) チェビシェフの多項式

チェビシェフの多項式
\(\cos n \theta\) は \(\cos \theta\) の \(n\) 次多項式で表せる
すべての自然数 \(n\) に対して,\(\cos n \theta=T_{n}(\cos \theta)\) で表せる.

\(T_{1}(x)=x\) ,\(T_{2}(x)=2x^2-1\)

\(T_{n+2}(x)=2xT_{n+1}(x)-T_{n}(x)\)

【cosのn倍角の公式】チェビシェフの多項式
cosnθはcosθのn次多項式で表される。三項間の漸化式、証明。有名性質。数学Ⅱ:三角関数

\(3\) 以上の素数 \(p\),正の整数 \(m\),\(n\) において

\(\cos \theta=\displaystyle\frac{1}{p}\) のとき,\(\theta=\displaystyle\frac{m}{n}\cdot\pi\) ・・・①

を満たす正の整数 \(m\),\(n\) が存在すると仮定する.

\(\theta=\displaystyle\frac{m}{n}\cdot\pi\) より

\(n \theta=m\pi\)

\(\cos n\theta=\cos m\pi=\pm 1\) ・・・②

 

ここで,自然数 \(n\) に対して

\(x^n\) の係数が \(2^{n-1}\) で,係数がすべて整数となる \(n\) 次式 \(f_{n}(x)\) を用いて

\(\cos n\theta=f_{n}(\cos \theta)\)

と表せる.

なぜならば,\(T_{1}(x)=x\) ,\(T_{2}(x)=2x^2-1\) とし,

三角関数の加法定理より

\(\cos(n+1) \theta=\cos n \theta\cos \theta-\sin n \theta\sin \theta\)

\(\cos(n-1) \theta=\cos n \theta\cos \theta+\sin n \theta\sin \theta\)

\(2\) 式を加えると

\(\cos(n+1) \theta+\cos(n-1) \theta=2\cos n \theta\cos \theta\)

\(\cos(n+1) \theta=2\cos n \theta\cos \theta-\cos(n-1) \theta\)

よって,

\(\cos(n+2) \theta=2\cos \theta\cos(n+1) \theta-\cos n \theta\)

であるから,

\(T_{n+2}(x)=2xT_{n+1}(x)-T_{n}(x)\) とすると成立する.

①,②より

\(T_{n}\left(\displaystyle\frac{1}{p}\right)=\pm 1\) となるが,

両辺を \(p^{n-1}\) 倍して整理するといずれも

\(\displaystyle\frac{2^{n-1}}{p}=\) (整数)

の形で表される.

しかし,これは \(p\) が \(3\) 以上の素数であることに反する.

したがって,題意を満たす正の整数 \(m\),\(n\) は存在しない.

ん〜〜〜・・・

難しいですね・・・。

もっと簡単な解法あるのかな・・・??

 

コメント

  1. かかし より:

    チェビチェフの多項式の漸化式部分,
    T_{n+2}(x)=2 T_{n+1}(x) x -T_{n}(x)
    じゃないでしょうか. 右辺第一項の“x”が抜けてるんじゃないかと思って

    なかなか方針が立てられなくて, 他の方のところだと唐突によくわからない式が出てきて困惑していたので, どうしたらいいか, どんな背景があるかがわかりやすくて参考になりました, ありがとうございます.

    • マス学ぶ より:

      ご指摘ありがとうございます。訂正させていただきました。
      ありがとうございます。

      そもそもの背景知識があっても難しい問題ですよね・・・。少しでもお役に立てたのであれば幸いです。
      今後もよろしくお願いします。

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