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【漸化式1,2,3】等差・等比・階差数列型|解法パターン|数学B数列

数学(大学入試問題)

【例題】次の条件によって定められる数列の一般項を求めよ.

1.\(a_{1}=2\),\(a_{n+1}=a_{n}+3\)

2.\(a_{1}=3\),\(a_{n+1}=2a_{n}\)

3-①.\(a_{1}=1\),\(a_{n+1}=a_{n}+2n\)

3-②.\(a_{1}=1\),\(a_{n+1}=a_{n}+4^n\)

漸化式は完全暗記もの!

数学が得意不得意に関わらず,ただただパターンを覚えてなければできるようになりません!

その中でも,最も基本となる\(3\) パターンの解法まとめページになります。

パターン1.等差数列型

\(a_{n+1}=a_{n}+d\)

👉 \(a_{n}=a_{1}+(n-1)d\)

※ \(a_{n}\) , \(a_{n+1}\) の係数が『 1 』であることが大切!

※ \(a_{n}\) の係数が『 1 』でないときはパターン4になります!

1.\(a_{1}=2\),\(a_{n+1}=a_{n}+3\)
\(a_{1}=2\) , \(d=3\) の等差数列であるから,
\(a_{n}=2+(n-1)\times 3\)
よって,\(a_{n}=3n-1\)

パターン2.等比数列型

\(a_{n+1}=ra_{n}\)

👉 \(a_{n}=a_{1}+(n-1)d\)

※ \(a_{n+1}\) の係数が『 1 』であることが大切!

2.\(a_{1}=3\),\(a_{n+1}=2a_{n}\)
\(a_{1}=3\),\(r=2\) の等比数列であるから,
\(a_{n}=3\cdot 2^{n-1}\)

パターン3.階差数列型

\(a_{n+1}=a_{n}+\)( \(n\) の式 )

👉 \(n≧2\) のとき 

\(a_{n}=a_{1}+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}{(k}\)の式)

※  \(n≧2\) について考えるため,最後に \(n=1\) のときの確認が必要!

※ \(a_{n}\) の係数が『 1 』であることが大切!

⇒ \(a_{n}\) の係数が『 1 』でないときはパターン7「」

3-①.\(a_{1}=1\),\(a_{n+1}=a_{n}+2n\)

3-②.\(a_{1}=1\),\(a_{n+1}=a_{n}+4^n\)

3-①

\(n≧2\) のとき \(a_{n}=a_{1}+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}{2k}\)

\(a_{n}=1+2\cdot\displaystyle\frac{1}{2}(n-1)n\)

よって,\(a_{n}=n^2-n+1\)

\(n=1\) のとき \(a_{n}=1^2-1+1=1\) となり成立

したがって,\(a_{n}=n^2-n+1\)

3-②

\(n≧2\) のとき \(a_{n}=a_{1}+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}{4^k}\)

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}{4^k}\) は初項が \(4\) , 公比が \(4\) , 項数が \(n-1\) の等比数列の和であるから,

\(a_{n}=a_{1}+\displaystyle\frac{4(4^{n-1}-1)}{4-1}=\displaystyle\frac{1}{3}(4^n-1)\)

\(n=1\) のとき \(a_{n}=\displaystyle\frac{1}{3}(4^1-1)=1\) となり成立

したがって,\(a_{n}=\displaystyle\frac{1}{3}(4^n-1)\)

【漸化式4】隣接二項間特性方程式|解法パターン|数学B数列
漸化式の解き方・解法まとめ。隣接二項間特性方程式の一般項の求め方、頻出・最重要問題。定期考査、大学入試共通テスト、2次試験対策。

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