【2023お茶の水女子大学・理・第２問】三角比の関係式から三角形の形の決定

解答・解説

(１)

積和の公式から

(左辺) \(=-\displaystyle\frac{1}{2}\left(\cos\displaystyle\frac{A+B}{2}-\cos\displaystyle\frac{A-B}{2}\right)\)

\(A+B+C=\pi\) より

(左辺) \(=-\displaystyle\frac{1}{2}\cos\displaystyle\frac{\pi-C}{2}+\displaystyle\frac{1}{2}\cos\displaystyle\frac{A-B}{2}\)

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\cos\displaystyle\frac{A-B}{2}-\displaystyle\frac{1}{2}\cos\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}-\displaystyle\frac{C}{2}\right)\)

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\cos\displaystyle\frac{A-B}{2}-\displaystyle\frac{1}{2}\sin\displaystyle\frac{C}{2}\)

(２)

(１)より

\(\sin\displaystyle\frac{A}{2}\sin\displaystyle\frac{B}{2}\sin\displaystyle\frac{C}{2}=\left(\displaystyle\frac{1}{2}\cos\displaystyle\frac{A-B}{2}-\displaystyle\frac{1}{2}\sin\displaystyle\frac{C}{2}\right)\sin\displaystyle\frac{C}{2}\)

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\cos\displaystyle\frac{A-B}{2}\sin\displaystyle\frac{C}{2}-\displaystyle\frac{1}{2}\sin^2\displaystyle\frac{C}{2}\) ・・・①

積和の公式から

\(\cos\displaystyle\frac{A-B}{2}\sin\displaystyle\frac{C}{2}=\displaystyle\frac{1}{2}\left(\sin\displaystyle\frac{A-B+C}{2}\right)-\sin\displaystyle\frac{A-B-C}{2}\)

\(A+B+C=\pi\) より

\(\cos\displaystyle\frac{A-B}{2}\sin\displaystyle\frac{C}{2}=\displaystyle\frac{1}{2}\sin\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}-B\right)-\displaystyle\frac{1}{2}\sin\left(A-\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)\)

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\cos B+\displaystyle\frac{1}{2}\cos A\)

さらに半角の公式より

\(\sin^2\displaystyle\frac{C}{2}=\displaystyle\frac{1-\cos C}{2}\) より

①に代入すると

\(\sin\displaystyle\frac{A}{2}\sin\displaystyle\frac{B}{2}\sin\displaystyle\frac{C}{2}\\=\displaystyle\frac{1}{2}\left(\displaystyle\frac{1}{2}\cos B+\displaystyle\frac{1}{2}\cos A\right)-\displaystyle\frac{1}{2}\cdot\displaystyle\frac{1-\cos C}{2}\)

\(=\displaystyle\frac{1}{4}\left(\cos A+\cos B+\cos C\right)-\displaystyle\frac{1}{4}\)

したがって，\(\sin\displaystyle\frac{A}{2}\sin\displaystyle\frac{B}{2}\sin\displaystyle\frac{C}{2}=\displaystyle\frac{k-1}{4}\)

(３)

三角形 \(ABC\) の外接円の半径を \(R\) とおくと正弦定理より

\(BC\)：\(CA\)：\(AB\)\(=2R\sin A\)：\(2R\sin B\)：\(2R\sin C\)\(=\sin A\)：\(\sin B\)：\(\sin C\)

\(\displaystyle\frac{C}{2}=\displaystyle\frac{\pi}{2}\) ，\(A+B=\displaystyle\frac{\pi}{2}\) より

\(BC\)：\(CA\)：\(AB\)\(=\sin A\)：\(\sin\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}-A\right)\)：\(\sin\displaystyle\frac{\pi}{2}\)\(=\sin A\)：\(\cos A\)：\(1\)

\(A+B=\displaystyle\frac{\pi}{2}\)，\(A<B\) より

\(A<\displaystyle\frac{\pi}{2}-A\) \(\iff\) \(A<\displaystyle\frac{\pi}{4}\) なので

\(\cos A>\sin A\) ・・・②

\(\sin\displaystyle\frac{A}{2}\sin\displaystyle\frac{B}{2}\sin\displaystyle\frac{C}{2}=\displaystyle\frac{1}{10}\) のとき，(２)の結果から

\(\displaystyle\frac{k-1}{4}=\displaystyle\frac{1}{10}\)

よって \(k=\displaystyle\frac{7}{5}\) なので

\(\cos A+\cos B+\cos C=\displaystyle\frac{7}{5}\)

\(\cos A+\cos \left(\displaystyle\frac{\pi}{2}-A\right)+\cos \displaystyle\frac{\pi}{2}=\displaystyle\frac{7}{5}\)

\(\sin A+\cos A=\displaystyle\frac{7}{5}\) ・・・③

③を \(2\) 乗すると

\(\left(\sin A+\cos A\right)^2=\displaystyle\frac{49}{25}\)

\(1+2\sin A\cos A=\displaystyle\frac{49}{25}\)

よって \(\sin A\cos A=\displaystyle\frac{12}{25}\) ・・・④

③，④より \(\sin A\)，\(\cos A\) は \(t\) の \(2\) 次方程式

\(t^2-\displaystyle\frac{7}{5}t+\displaystyle\frac{12}{25}=0\) の \(2\) 解となる．

\(\left(t-\displaystyle\frac{3}{5}\right)\left(t-\displaystyle\frac{4}{5}\right)=0\)

\(t=\displaystyle\frac{3}{5}，\displaystyle\frac{4}{5}\)

②より \(\sin A=\displaystyle\frac{3}{5}\)，\(\cos A=\displaystyle\frac{4}{5}\)

したがって，\(BC\)：\(CA\)：\(AB\)\(=\displaystyle\frac{3}{5}\)：\(\displaystyle\frac{4}{5}\)：\(1\)\(=3\)：\(4\)：\(5\)