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【オイラー直線】外心・重心・垂心が一直線上(OG:GH=1:2)ベクトルを用いた証明

数学(大学入試問題)

【オイラー直線】

任意の三角形の外心を \(O\) , 重心を \(G\) , 垂心を \(H\) とおくとき,

\(3\) 点 \(O\) ,  \(G\) ,  \(H\) は一直線上にある.

また,\(OG:GH=1:2\) を満たす.

とても有名な図形の性質で,様々な証明の仕方があります。

ここでは一番簡単かつ,大学入試でも出題されたことのある形式の,ベクトルを用いた証明を考えてみます。

準備①重心の位置ベクトル

重心( 以下では \(G\) と表す )とは,中線の交点であり,中線を \(2:1\) に内分する点.

(※ 中線とは,各頂点と対辺の中点を結ぶ線分)

 

\(\overrightarrow{OG}=\displaystyle\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}{3}\)

参考:始点をAにすると(OをAに変えた)

\(\overrightarrow{AG}=\displaystyle\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{3}\)

準備②外心と垂心について


外心を \(O\) , 垂心を \(H\) とするとき

\(\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\) 

まずは結果を覚えておきましょう!ちなみに証明問題もよく入試で出題されています!

\(\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\) のとき \(H\) は垂心である証明

点 \(O\) を外心,

\(\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\) ・・・① とおく.

このとき,\(\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{OH}-\overrightarrow{OA}\) より

①から,\(\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\)

また,\(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}\) より

\(\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{BC}=(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB})=\left|\overrightarrow{OC}\right|^2-\left|\overrightarrow{OB}\right|^2\) ・・・②

点 \(O\) は外心であるから,\(\left|\overrightarrow{OB}\right|=\left|\overrightarrow{OC}\right|\) であるから,②より

\(\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{BC}=0\)

したがって,\(\overrightarrow{AH} \perp \overrightarrow{BC}\)

同様に,\(\overrightarrow{BH} \perp \overrightarrow{CA}\) ,\(\overrightarrow{CH} \perp \overrightarrow{AB}\) となり,点 \(H\) は垂心となる.

\(3\) 点 \(O\) , \(G\) , \(H\) が一直線上にある証明

上の準備①,準備②より

\(\overrightarrow{OG}=\displaystyle\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}{3}\)

かつ \(\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\) であるから

\(\overrightarrow{OH}=3\overrightarrow{OG}\) より \(3\) 点 \(O\) , \(G\) , \(H\) は一直線上にある.

また,\(OG:GH=1:2\) を満たす.

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