【2022関西大学・全学部・文系】
次のように定められた数列 \(a_{n}\)，\(b_{n}\) の一般項を求めよ．
\(\begin{cases}a_{1}=2 \\ b_{1}=-1 \end{cases}\)，\(\begin{cases}a_{n+1}=6a_{n}+2b_{n}\\b_{n+1}=3a_{n}+5b_{n}\end{cases}\)
解答・解説
\(a_{n+1}=6a_{n}+2b_{n}\) ・・・①
\(b_{n+1}=3a_{n}+5b_{n}\) ・・・② とおく．
① + ②\(\times k\) より
\(a_{n+1}+kb_{n+1}=(6+3k)a_{n}+(2+5k)b_{n}\) ・・・③
\(1：k=(6+3k)：(2+5k)\) を満たすとき
\(6k+3k^2=2+5k\)
\(3k^2+k-2=0\)
\((k+1)(3k-2)=0\)
\(k=-1,\displaystyle\frac{2}{3}\)
・\(k=-1\) のとき ③より
\(a_{n+1}-b_{n+1}=3(a_{n}-b_{n})\)
\(a_{n}-b_{n}=(a_{1}-b_{1})\cdot 3^{n-1}\)
よって，\(a_{n}-b_{n}=3^n\) ・・・④
・\(k=\displaystyle\frac{2}{3}\) のとき ③より
\(a_{n+1}+\displaystyle\frac{2}{3}b_{n+1}=8(a_{n}+\displaystyle\frac{2}{3}b_{n})\)
\(a_{n}+\displaystyle\frac{2}{3}b_{n}=\left(a_{1}+\displaystyle\frac{2}{3}b_{1}\right)\cdot 8^{n-1}\)
よって，\(a_{n}+\displaystyle\frac{2}{3}b_{n}=\displaystyle\frac{4}{3}\cdot 8^{n-1}\) ・・・⑤
⑤ー④より
\(\displaystyle\frac{5}{3}b_{n}=\displaystyle\frac{4}{3}\cdot 8^{n-1}-3^n\)
\(b_{n}=\displaystyle\frac{1}{5}\left(2^{3n-1}-3^{n+1}\right)\)
④から \(a_{n}=b_{n}+3^n\) より
\(a_{n}=\displaystyle\frac{1}{5}\left(2^{3n-1}+2\cdot 3^n\right)\)
コメント