連続関数となる条件｜大阪府立大学

関数の連続性について

解答・解説

$f(x)=\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\displaystyle\frac{x^{2n+1}+ax^2+bx+1}{x^{2n}+1}$

・$-1<x<1$ のとき

$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}x^{2n}=0$ より

$f(x)=ax^2+bx+1$

・$x=-1$ のとき

$f(x)=\displaystyle\frac{a-b}{2}$

・$x=1$ のとき

$f(x)=\displaystyle\frac{a+b+2}{2}$

・$x<-1 , 1<x$ のとき

$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}x^{2n}=\infty$ より

$f(x)=\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\displaystyle\frac{x^{2n+1}+ax^2+bx+1}{x^{2n}+1}$

$=\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} \displaystyle\frac{x+\displaystyle\frac{ax^2+bx+1}{x^{2n}}}{1+\displaystyle\frac{1}{x^{2n}}}$ ( $x\not=0$ ) なので

$f(x)=x$

よって，$f(x)$ がすべての実数 $x$ に対して連続であるためには，$x=\pm1$ で連続であることが必要十分である．

$x=1$ で連続であるための条件は，

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1-0}(ax^2+bx+1)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1+0}x=\displaystyle\frac{a+b+2}{2}$

よって，$a+b=0$ ・・・①

$x=-1$ で連続であるための条件は，

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow -1+0}(ax^2+bx+1)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow -1-0}x=\displaystyle\frac{a-b}{2}$

よって，$a-b=-2$ ・・・②

①，②より $a=-1$ , $b=1$

【関数の微分可能性と連続性】「微分可能⇒連続」の逆は偽の判例(具体例)

連続性、微分可能性の定義。また「微分可能ならば連続である」の命題は真であるが、逆命題は偽である。逆の反例について具体的な例題を紹介。入試頻出・重要問題の演習問題。f(x)=xsin(1/x)(x≠0),0(x=0)について。数学Ⅲ：微分

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2022.10.19