【1993神戸大学・理(後期)】
座標空間において，\(4\) 点 \(O ( 0 , 0 , 0 )\) , \(A ( 2 , 2 , 2 )\) , \(B ( 1 , 3 , 1 )\) , \(C ( -2 , 4 , 2 )\) を考える．次の各問に答えなさい．
(１) \(3\) 点 \(A\) , \(B\) , \(C\) を通る平面の方程式を求めなさい．
(２) 点 \(( 30 , 20 , -50 )\) に光源を置く．このとき，四面体 \(OABC\) の面 \(ABC\) に光があたるかどうかを理由をつけて答えなさい．
(１)平面の方程式
平面の方程式の証明，\(\overrightarrow{n}\) の求め方については「平面の方程式・点と平面の距離・空間上の直線の方程式・外積の公式まとめ・例題演習」を参考にしてください。外積についても紹介しています。
(１)解答
\(\overrightarrow{AB}=(-1,1,-1)\) , \(\overrightarrow{AC}=(-4,2,0)=2(-2,1,0)\) の両方に垂直なベクトルの\(1\) つを \(\overrightarrow{n}\) とおくと，\(\overrightarrow{n}=(1,2,1)\) ・・・(※)
\(\overrightarrow{AB}\) , \(\overrightarrow{AC}\) の両方に垂直なベクトルの求め方については，「平面の方程式・点と平面の距離・空間上の直線の方程式・外積の公式まとめ・例題演習」を参考に！外積についても紹介しています！
したがって求める平面の方程式は，
\((x-2)+2(y-2)+(z-2)=0\) \(\iff\) \(x+2y+z-8=0\)
(２)正領域と負領域
正領域・負領域とは？
平面上の曲線 \(f(x,y)=0\) において，平面は \(2\) つに分けられる．このとき，
\(f(x,y)>0\) となる領域を正領域，\(f(x,y)<0\) となる領域を負領域 という．
正領域・負領域について具体的な例題や考え方は「【差がつく】正領域と負領域の例題と考え方｜数学Ⅱ：図形と方程式」をご参考にください。
(２)考え方
題意を満たすためには，【図②】のようになればよい．
つまり，平面 \(ABC\) によって分けられた領域の一方に点 \(O\) , もう一方に点 \(P\) がくれば良い．
⇒ 点 \(O\) , \(P\) の一方が正領域，もう一方が負領域
解答
空間は，平面 \(ABC\) : \(x+2y+z-8=0\) によって \(2\) つの領域
\(x+2y+z-8>0\) ・・・①
\(x+2y+z-8<0\) ・・・②
に分かれる．
\(O ( 0 , 0 , 0 )\) においては，\(x+2y+z-8=-8<0\)
点 \(( 30 , 20 , -50 )\) においては，\(x+2y+z-8=12>0\)
であるから，四面体 \( OABC\) の内部の点はすべて領域②に含まれ，光源は領域①に含まれるので，面 \(ABC\) に光は当たる．
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