【オイラー直線】外心・重心・垂心が一直線上(OG:GH=1:2)ベクトルを用いた証明

とても有名な図形の性質で，様々な証明の仕方があります。

ここでは一番簡単かつ，大学入試でも出題されたことのある形式の，ベクトルを用いた証明を考えてみます。

準備①重心の位置ベクトル

重心( 以下では \(G\) と表す )とは，中線の交点であり，中線を \(2:1\) に内分する点．

(※ 中線とは，各頂点と対辺の中点を結ぶ線分)

準備②外心と垂心について

まずは結果を覚えておきましょう！ちなみに証明問題もよく入試で出題されています！

\(\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\) のとき \(H\) は垂心である証明

点 \(O\) を外心，

\(\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\) ・・・① とおく．

このとき，\(\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{OH}-\overrightarrow{OA}\) より

①から，\(\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\)

また，\(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}\) より

\(\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{BC}=(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB})=\left|\overrightarrow{OC}\right|^2-\left|\overrightarrow{OB}\right|^2\) ・・・②

点 \(O\) は外心であるから，\(\left|\overrightarrow{OB}\right|=\left|\overrightarrow{OC}\right|\) であるから，②より

\(\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{BC}=0\)

したがって，\(\overrightarrow{AH} \perp \overrightarrow{BC}\)

同様に，\(\overrightarrow{BH} \perp \overrightarrow{CA}\) ，\(\overrightarrow{CH} \perp \overrightarrow{AB}\) となり，点 \(H\) は垂心となる．

\(3\) 点 \(O\) , \(G\) , \(H\) が一直線上にある証明

上の準備①，準備②より

\(\overrightarrow{OG}=\displaystyle\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}{3}\)

かつ \(\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\) であるから

\(\overrightarrow{OH}=3\overrightarrow{OG}\) より \(3\) 点 \(O\) , \(G\) , \(H\) は一直線上にある．

また，\(OG:GH=1:2\) を満たす．

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2021.10.13