【2021昭和大学・医】m,m+2,m+4,・・・,m+2^nの和が1000となる自然数m、n

【2021昭和大学・医学部・第２問(３)】

\(m\)， \(n\) を自然数とするとき，\(m\)，\(m+2\)，\(m+4\)，\(m+6\)，\(\cdots\)，\(m+2^n\) ( このような組を(※)とする ) の和がちょうど \(1000\) になるとする．このような(※)をすべて求めよ．

解答・解説

(※)の和は，

\(m+\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{(m+2^k)}=m+mn+\displaystyle\frac{2(2^n-1)}{2-1}\)

\(=2^{n+1}+(n+1)m-2\)

これがちょうど \(1000\) となるとき

\(2^{n+1}+(n+1)m-2=1000\)

\(\iff\) \((n+1)m=1002-2^{n+1}\) ・・・①

これだけでは \(m\)，\(n\) の候補がたくさんあるため、範囲の絞り込みを行いましょう！

①の左辺は正であるから右辺も正なので

\(1002-2^{n+1}>0\)

これをみたす自然数 \(n\) は，\(n=1,2,3,\cdots,8\)

これらのうち①を満たすのは，\((m,n)=(499,1)\) または \((194,4)\)

したがって(※)は，

\((499,501)\) または \((194,196,198,202,210)\)