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【2022九州大学】平面に対称な点|外積・平面の方程式・点と面の距離の公式|差がつく良問

数学(大学入試問題)

【2022九州大学】

座標空間内の \(4\) 点 \(O(0,0,0)\) , \(A(1,1,0)\) , \(B(2,1,2)\) , \(P(4,0,-1)\)

を考える.\(3\) 点 \(O\) , \(A\) , \(B\) を通る平面を \(\alpha\) とし,\(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{OA}\) , \(\overrightarrow{b}=\overrightarrow{OB}\) とおく.以下の問に答えよ.

(1) ベクトル \(\overrightarrow{a}\) , \(\overrightarrow{b}\) の両方に垂直であり,\(x\) 成分が正であるような,大きさが \(1\) のベクトル \(\overrightarrow{n}\) を求めよ.

(2) 点 \(P\) から平面 \(\alpha\) に垂線をおろし,その交点を \(Q\) とおく.線分 \(PQ\) の長さを求めよ.

(3) 平面 \(\alpha\) に関して点 \(P\) と対称な点 \(P^{\prime}\) の座標を求めよ.

平面の方程式,点と面の距離の公式,外積など,学校の授業では学習しないが,入試では頻出の知っておきたい差がつくテーマになります。ここでは基本的な問題を通して,使い方の演習をしていきましょう!

平面の方程式・点と平面の距離・空間上の直線の方程式・外積の公式まとめ・例題演習
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(1)外積の利用

※ \(\vec{x}\times\vec{y}\) を \(\vec{x}\) と \(\vec{y}\) の外積という

※ 外積は高校数学では学習しません。(教科書に載っていません)そのため,記述式の答案で使用すると、減点される可能性があります。使用する場合は、記述として解答に残さないこと!

(1)解答

\(\overrightarrow{a}\) , \(\overrightarrow{b}\) の両方に垂直なベクトルの \(1\) つを \(\overrightarrow{x}\) とおくと,

\(\overrightarrow{x}=(2,-2,-1)\) であり,

\(\left|\overrightarrow{x}\right|=\sqrt{2^2+(-2)^2+(-1)^2}=3\) であるから,

求める \(\overrightarrow{n}\) は,\(\overrightarrow{n}=\displaystyle\frac{1}{3}\overrightarrow{x}=\left(\displaystyle\frac{2}{3},-\displaystyle\frac{2}{3},-\displaystyle\frac{1}{3}\right)\)

(2)平面の方程式・点と面の距離の公式

平面の方程式

点と面の距離の公式

(2)解答

点 \(O\) を通り,\(\overrightarrow{x}=(2,-2,-1)\) に垂直な平面 \(\alpha\) の方程式は

\(2x-2y-z=0\) ・・・①

①と\(P(4,0,-1)\) の距離は

\(PQ=\displaystyle\frac{|2\times 4-2\times 0-(-1)|}{\sqrt{2^2+(-2)^2+(-1)^2}}=3\)

(3)平面に関して対称な点

実数 \(k\) を用いて

\(\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OP}+k\overrightarrow{x}\) と表せるので

\(\overrightarrow{OQ}=(2k+4,-2k,-k-1)\) より

点 \(Q (2k+4,-2k,-k-1)\) となる.

ここで点 \(Q\) は,平面 \(\alpha\) 上より,①から

\(2(2k+4)-2(-2k)-(-k-1)=0\)

\(\iff\)  \(k=-1\)

よって,\(Q (2,2,0)\)

ここで点 \(P\) と \(P^{\prime}\) の中点が \(Q\) より

\(\overrightarrow{OQ}=\displaystyle\frac{1}{2}(\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OP^{\prime}})\)

\(\overrightarrow{OP^{\prime}}=2\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP}\)

よって,\(\overrightarrow{OP^{\prime}}=2(2,2,0)-(4,0,-1)=(0,4,1)\)

したがって, \(P^{\prime}(0,4,1)\)

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