【オイラー直線】外心・重心・垂心が一直線上(OG:GH=1:2)ベクトルを用いた証明

とても有名な図形の性質で，様々な証明の仕方があります。

ここでは一番簡単かつ，大学入試でも出題されたことのある形式の，ベクトルを用いた証明を考えてみます。

準備①重心の位置ベクトル

重心( 以下では $G$ と表す )とは，中線の交点であり，中線を $2:1$ に内分する点．

(※ 中線とは，各頂点と対辺の中点を結ぶ線分)

準備②外心と垂心について

まずは結果を覚えておきましょう！ちなみに証明問題もよく入試で出題されています！

$\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$ のとき $H$ は垂心である証明

点 $O$ を外心，

$\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$ ・・・① とおく．

このとき，$\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{OH}-\overrightarrow{OA}$ より

①から，$\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$

また，$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}$ より

$\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{BC}=(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB})=\left|\overrightarrow{OC}\right|^2-\left|\overrightarrow{OB}\right|^2$ ・・・②

点 $O$ は外心であるから，$\left|\overrightarrow{OB}\right|=\left|\overrightarrow{OC}\right|$ であるから，②より

$\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{BC}=0$

したがって，$\overrightarrow{AH} \perp \overrightarrow{BC}$

同様に，$\overrightarrow{BH} \perp \overrightarrow{CA}$ ，$\overrightarrow{CH} \perp \overrightarrow{AB}$ となり，点 $H$ は垂心となる．

$3$ 点 $O$ , $G$ , $H$ が一直線上にある証明

上の準備①，準備②より

$\overrightarrow{OG}=\displaystyle\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}{3}$

かつ $\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$ であるから

$\overrightarrow{OH}=3\overrightarrow{OG}$ より $3$ 点 $O$ , $G$ , $H$ は一直線上にある．

また，$OG:GH=1:2$ を満たす．

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2021.10.13