スポンサーリンク

【2022慶應義塾大学・商学部】面積・外積・体積・平面の方程式|差がつく入試問題

2022年入試問題

【2022慶應義塾大学・商学部】

点 \(O\) を原点とする \(xyz\) 座標空間に,\(2\) 点 \(A ( 2 , 3 , 1 )\) , \(B ( -2 , 1 , 3 )\) をとる.また,\(x\) 座標が正の点 \(C\) を,\(\overrightarrow{OC}\) が \(\overrightarrow{OA}\) と \(\overrightarrow{OB}\) に垂直で,\(\left|\overrightarrow{OC}\right|=8\sqrt{3}\) となるように定める.

(1) \(\triangle OAB\) の面積を求めよ.

(2) 点 \(C\) の座標を求めよ.

(3) 四面体 \(OABC\) の体積を求めよ.

(4) 平面 \(ABC\) の方程式を求めよ.

(5) 原点 \(O\) から平面 \(ABC\) に垂線 \(OH\) を下ろしたときの点 \(H\) の座標を求めよ.

(1) 考え方・解答

【重要公式】三角形の面積公式(ベクトル)

\(\triangle OAB=\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{OA}|^2|\overrightarrow{OB}|^2-(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB})^2}\)

(1) 解答

\(\left|\overrightarrow{OA}\right|=\sqrt{2^2+3^2+1^2}=\sqrt{14}\)

\(\left|\overrightarrow{OB}\right|=\sqrt{(-2)^2+1^2+3^2}=\sqrt{14}\)

\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=2\times (-2)+3\times 1+1\times 3=2\) より

\(\triangle OAB=\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{\sqrt{14}^2\times \sqrt{14}^2-2^2}=\)\(4\sqrt{3}\)

(2) 考え方・解答

外積の利用

\(\overrightarrow{x}=(a_{1},a_{2},a_{3})\) , \(\overrightarrow{y}=(b_{1},b_{2},b_{3})\) のとき,

\(\overrightarrow{x}\) と \(\overrightarrow{y}\) の両方に垂直なベクトルの1つは

\(\overrightarrow{x}\times \overrightarrow{y}=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2},a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3},a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\)

※ \(\vec{x}\times\vec{y}\) を \(\vec{x}\) と \(\vec{y}\) の外積という

※ 外積は高校数学では学習しません。(教科書に載っていません)そのため,記述式の答案で使用すると、減点される可能性があります。使用する場合は、記述として解答に残さないこと!本問では私立大学で答えのみで良いので外積を利用しました。

※ 外積を利用した演習として「平面の方程式・点と平面の距離・空間上の直線の方程式・外積の公式まとめ・例題演習

(2) 解答

\(\overrightarrow{x}\) と \(\overrightarrow{y}\) の両方に垂直なベクトルの1つは,

\(\overrightarrow{OA}\times \overrightarrow{OB}=(8,-8,8)\)

これは \(x\) 座標が正であり,\(\left|\overrightarrow{OA}\times \overrightarrow{OB}\right|=8\sqrt{3}\) となり題意を満たす.

よって,\(\overrightarrow{OC}=(8,-8,8)\)

したがって,点 \(C\) の座標は \(C(8,-8,8)\)

(3) 考え方・解答

体積について

体積について問われたら,まず高さを考える!

高さを考えるためには,2ヶ所垂直になっていることを確認する必要がある

【垂直条件】

平面 \(\alpha\) 上の異なる \(2\) つのベクトル \(\overrightarrow{x}\) , \(\overrightarrow{y}\) ( ただし,\(\overrightarrow{x}\) , \(\overrightarrow{y}\) は零ベクトルでなく,互いに平行ではない ) に対して,

平面 \(\alpha\) \(\perp \overrightarrow{n}\)

\(\iff\) \(\overrightarrow{x} \perp \overrightarrow{n}\) かつ \(\overrightarrow{y} \perp \overrightarrow{n}\)

 

本問では \(\overrightarrow{OC}\) が \(\overrightarrow{OA}\) と \(\overrightarrow{OB}\) に垂直であるから,線分 \(OC\) が高さとなる.

(3) 解答

求める体積を \(V\) とすると,

\(V=\displaystyle\frac{1}{3}\times \triangle OAB\times  \left|\overrightarrow{OC}\right|=\displaystyle\frac{1}{3}\times 4\sqrt{3}\times 8\sqrt{3}=\)\(32\)

(4),(5) 考え方・解答

平面の方程式

証明・公式の使い方等についての詳細は,「平面の方程式・点と平面の距離・空間上の直線の方程式・外積の公式まとめ・例題演習」を参考にしてください。

平面の方程式・点と平面の距離・空間上の直線の方程式・外積の公式まとめ・例題演習
平面の方程式の公式の導き方と使い方。外積を利用した法線ベクトルを利用した解法も紹介。空間ベクトルを利用して、平面の方程式、直線の方程式、点と平面の距離など差がつく分野について公式、使い方の練習。京都大学をはじめ、難関大学では頻出のテーマ。2次試験対策。数学B空間ベクトル

(4),(5) 解答

\(\overrightarrow{AB}=(-4,-2,2)\) , \(\overrightarrow{AC}=(6,-11,7)\) より

\(\overrightarrow{AB}\) , \(\overrightarrow{AC}\) の両方に垂直なベクトルの1つは,

\(\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(8,40,56)=8(1,5,7)\) より,

\(\overrightarrow{n}=(1,5,7)\) とおくと

平面 \(ABC\) のは,点 \(A ( 2 , 3 , 1 )\) を通り,\(\overrightarrow{n}\) に垂直な平面であるから,

\(1\cdot(x-2)+5\cdot(y-3)+7\cdot(z-1)=0\)

しがたって,\(x+5y+7z-24=0\) ・・・(4)

次に,\(\overrightarrow{OH} \perp \overrightarrow{n}\) であるから,

実数 \(k\) を用いて、\(\overrightarrow{OH}=k\overrightarrow{n}\) とおける.

つまり,\(\overrightarrow{OH}=(k,5k,7k)\)

よって \(H(k,5k,7k)\)

点 \(H\) は,平面 \(ABC\) 上にあるので,

(4)で求めた \(x+5y+7z-24=0\) に代入すると

\(k+25k+49k-24=0\)

\(k=\displaystyle\frac{8}{25}\)

したがって,\(H\left(\displaystyle\frac{8}{25},\displaystyle\frac{8}{5},\displaystyle\frac{56}{25}\right)\) 

【対称性の利用】空間ベクトル(共面条件・ 垂直条件)|2010神戸大学
与えられた条件から図形の対称性に気づき,文字数を減らす。ちょっとした意識で差がつく重要ポイント! また頻出の共面条件(係数の和が1)や垂直条件(平面とベクトルが垂直)を利用した良問。神戸大過去問演習。2次試験対策。数学B空間ベクトル。
【2022九州大学】平面に対称な点|外積・平面の方程式・点と面の距離の公式|差がつく良問
学校では学習しないが入試頻出の差がつくテーマ。数学B空間ベクトル。2次試験対策。平面の方程式と平面に関して対称な点。頻出・重要問題。外積、平面の方程式、点と面の距離の公式の利用。

コメント

タイトルとURLをコピーしました