スポンサーリンク

【数学Ⅲ】(sinx)^n、(cosx)^nの積分公式・証明・例題演習(ウォリス積分)

積分まとめ

\(\sin^nx\)、\(\cos^nx\) の積分について

 

【問題】

① \(\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\sin^4x \enspace dx\)

② \(\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\sin^5x \enspace dx\)

③ \(\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\sin^4x\cos^2x \enspace dx\)

上の問題①~③の答え(答えのみでOK)を、\(1\) 分以内に求めることは出来ますか??
\(1\) 分以内に求めるが出来ない人は是非このページをしっかりと理解し、頻出計算だからこそ、瞬間的に答えが求められるようにしておきましょう!

頻出有名公式

\(I_{n}=\displaystyle\int^\frac{\pi}{2}_{0} \sin^nx\enspace dx=\displaystyle\int^\frac{\pi}{2}_{0} \cos^nx\enspace dx\)

\(n\) が偶数のとき

\(I_{n}=\displaystyle\frac{n-1}{n}\times\displaystyle\frac{n-3}{n-2}\times\displaystyle\frac{n-5}{n-4}\times\cdots\times\displaystyle\frac{1}{2}\times\displaystyle\frac{\pi}{2}\)

\(n\) が奇数のとき

\(I_{n}=\displaystyle\frac{n-1}{n}\times\displaystyle\frac{n-3}{n-2}\times\displaystyle\frac{n-5}{n-4}\times\cdots\times\displaystyle\frac{2}{3}\times1\)

証明\(\displaystyle\int^\frac{\pi}{2}_{0}\sin^nx\enspace dx\) について

\(I_{n}=\displaystyle\int^\frac{\pi}{2}_{0}\sin^nx\enspace dx\) とおく

\(I_{n}=\displaystyle\int^\frac{\pi}{2}_{0}\sin^{n-1}x\cdot\sin x\enspace dx\)

\(=\displaystyle\int^\frac{\pi}{2}_{0}\sin^{n-1}x\cdot(-\cos x)^{\prime}\enspace dx\)

\(=\Bigl[-\sin^{n-1}x\cos x\Bigr]^{\frac{\pi}{2}}_{0}+\displaystyle\int^\frac{\pi}{2}_{0}(n-1)\sin^{n-2}x \cos^2x\enspace dx\)

ここで, \(\Bigl[-\sin^{n-1}x\cos x\Bigr]^{\frac{\pi}{2}}_{0}=0\)  ,  \(\cos^2x=1-\sin^2x\) より

\(I_{n}=(n-1)\displaystyle\int^\frac{\pi}{2}_{0}\sin^{n-2}x(1-\sin^2x)\enspace dx\)

\(I_{n}=(n-1)(I_{n-2}-I_{n})\)

したがって、\(I_{n}=\displaystyle\frac{n-1}{n}I_{n-2}\) ・・・①

①において、\(n\) を \(n-2\) とすると

\(I_{n-2}=\displaystyle\frac{n-3}{n-2}I_{n-4}\)

これを①に代入して、

\(I_{n}=\displaystyle\frac{n-1}{n}\times\displaystyle\frac{n-3}{n-2}I_{n-4}\)

これを同様に繰り返していくと、

\(n\) が偶数のとき

\(I_{n}=\displaystyle\frac{n-1}{n}\times\displaystyle\frac{n-3}{n-2}\times\displaystyle\frac{n-5}{n-4}\times\cdots\times\displaystyle\frac{1}{2}\times I_{0}\)

\(n\) が奇数のとき

\(I_{n}=\displaystyle\frac{n-1}{n}\times\displaystyle\frac{n-3}{n-2}\times\displaystyle\frac{n-5}{n-4}\times\cdots\times\displaystyle\frac{2}{3}\times I_{1}\)

ここで、

\(I_{0}=\displaystyle\int^\frac{\pi}{2}_{0}\sin^0x\enspace dx=\Bigl[ x \Bigr]^{\frac{\pi}{2}}_{0}=\displaystyle\frac{\pi}{2}\)

\(I_{1}=\displaystyle\int^\frac{\pi}{2}_{0}\sin x\enspace dx=\Bigl[ -\cos x \Bigr]^{\frac{\pi}{2}}_{0}=1\)

であるから、\(I_{n}\) は

\(n\) が偶数のとき

\(I_{n}=\displaystyle\frac{n-1}{n}\times\displaystyle\frac{n-3}{n-2}\times\displaystyle\frac{n-5}{n-4}\times\cdots\times\displaystyle\frac{1}{2}\times\displaystyle\frac{\pi}{2}\)

\(n\) が奇数のとき

\(I_{n}=\displaystyle\frac{n-1}{n}\times\displaystyle\frac{n-3}{n-2}\times\displaystyle\frac{n-5}{n-4}\times\cdots\times\displaystyle\frac{2}{3}\times1\)

証明\(\displaystyle\int^\frac{\pi}{2}_{0}\cos^nx\enspace dx\) について

上で証明した結果を利用する.

\(\sin x=\cos\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}-x\right)\) より、

\(I_{n}=\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\cos^n\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}-x\right)\enspace dx\)

ここで、 \(t=\displaystyle\frac{\pi}{2}-x\) と置換すると、

\(dt=-dx\) であり、

\(x\) が \(0\) \(\to\) \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) のとき、\(t\) は \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) \(\to\) \(0\) であるから、

\(I_{n}=\displaystyle\int^{0}_{\frac{\pi}{2}}\cos^nt\enspace (-dt)=\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\cos^nt\enspace dt\)

したがって、

\(I_{n}=\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_{0} \sin^nx\enspace dx=\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_{0} \cos^nx\enspace dx\)

問題の解答

【問題】

① \(\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\sin^4x \enspace dx\)
② \(\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\sin^5x \enspace dx\)
③ \(\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\sin^4x\cos^2x \enspace dx\)

①は \(n\) が偶数のときであるから

\(\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\sin^4x \enspace dx=\displaystyle\frac{3}{4}\times\displaystyle\frac{1}{2}\times\displaystyle\frac{\pi}{2}=\displaystyle\frac{3\pi}{16}\)

 

②は \(n\) が奇数のときであるから

\(\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\sin^5x \enspace dx=\displaystyle\frac{4}{5}\times\displaystyle\frac{2}{3}\times1=\displaystyle\frac{8}{15}\)

 

③ \(\cos^2x=1-\sin^2x\) より

\(\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\sin^4x\cos^2x \enspace dx\)

\(=\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\sin^4x(1-\sin^2x) \enspace dx\)

\(=\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}(\sin^4x-\sin^6x) \enspace dx\)

\(=\displaystyle\frac{3}{4}\times\displaystyle\frac{1}{2}\times\displaystyle\frac{\pi}{2}-\displaystyle\frac{5}{6}\times\displaystyle\frac{3}{4}\times\displaystyle\frac{1}{2}\times\displaystyle\frac{\pi}{2}=\displaystyle\frac{\pi}{32}\)

 

 

コメント

タイトルとURLをコピーしました