【2021数学ⅠA(第1日程)】第１問[１](2次方程式)

(１)問題と解答・解説《ア〜ウ》

\(c=1\) のとき①の左辺は

\(2x^2+x-10=\)\((2x+5)(x-2)\) ・・・《ア〜ウ》

よって①の解は，\(x=-\displaystyle\frac{5}{2} , 2\)

\(c=2\) のとき①は，

\(2x^2+5x-5=0\)

\(x=\displaystyle\frac{-5\pm\sqrt{65}}{4}\) ・・・《エ〜キ》

よって大きい方の解 \(\alpha\) は，

\(\alpha=\displaystyle\frac{-5+\sqrt{65}}{4}\) であるから，

\(\displaystyle\frac{5}{\alpha}=5\times \displaystyle\frac{4}{-5+\sqrt{65}}\)

\(=\displaystyle\frac{20(\sqrt{65}+5)}{(\sqrt{65}-5)(\sqrt{65}+5)}\)

\(=\displaystyle\frac{5+\sqrt{65}}{2}\) ・・・《ク〜サ》

\(8=\sqrt{64}<\sqrt{65}<\sqrt{81}=9\) より

\(\displaystyle\frac{5+8}{2}<\displaystyle\frac{5+\sqrt{65}}{2}<\displaystyle\frac{5+9}{2}\)

\(6.5<\displaystyle\frac{5}{\alpha}<7\) より \(m=6\) ・・・《シ》

\(2x^2+(4c-3)x+2c^2-c-11=0\) ・・・① の解は

\(x=\displaystyle\frac{-(4c-3)\pm\sqrt{(4c-3)^2-4\times 2\times (2c^2-c-11)}}{4}\)

式を整理すると，\(x=\displaystyle\frac{-4c+3\pm\sqrt{-16c+97}}{4}\)

この \(2\) 解がともに有理数となるのは， \(-16c+97\) ( ルートの中 ) が平方数になるときである．

ここで， \(-16c+97>0\) であるから

\(c<\displaystyle\frac{97}{16}\)

\(c\) は正の整数であるから，\(c=1,2,3,4,5,6\)

この中で \(-16c+97\) が平方数となるのは

・\(c=1\) のとき \(-16c+97=81=9^2\)

・\(c=3\) のとき \(-16c+97=49=7^2\)

・\(c=6\) のとき \(-16c+97=1=1^2\)

の \(3\) 個・・・《ス》