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【2013東京大学】フェルマー点とベクトル(トリチェリ点・等角中心)

数学(大学入試問題)

【2013東京大学】

\(\triangle ABC\) において \(\angle BAC=90°\) , \(\left|\overrightarrow{AB}\right|=1\) , \(\left|\overrightarrow{AC}\right|=\sqrt{3}\) とする.\(\triangle ABC\) の内部の点 \(P\) が

\(\displaystyle\frac{\overrightarrow{PA}}{\left|\overrightarrow{PA}\right|}+\displaystyle\frac{\overrightarrow{PB}}{\left|\overrightarrow{PB}\right|}+\displaystyle\frac{\overrightarrow{PC}}{\left|\overrightarrow{PC}\right|}=\overrightarrow{0}\)

を満たすとする.

(1) \(\angle APB\) , \(\angle APC\) を求めよ.

(2) \(\left|\overrightarrow{PA}\right|\) , \(\left|\overrightarrow{PB}\right|\) , \(\left|\overrightarrow{PC}\right|\) を求めよ.

考え方・ヒント

重心の位置ベクトル

\(\overrightarrow{OG}=\displaystyle\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}{3}\)

参考:始点をAにすると(OをAに変えた)

\(\overrightarrow{AG}=\displaystyle\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{3}\)

単位ベクトルについて

大きさが \(1\) であるベクトルのことを単位ベクトルという.

ある \(\overrightarrow{a}\) (ただし \(\overrightarrow{0} \)ではない ) の単位ベクトルは,\(\displaystyle\frac{\overrightarrow{a}}{ \left|\overrightarrow{a}\right|} \) と表せる.

平面図形は3つの方針を考える!

パターン問題を除き、次の原則3つを考える

  1. 幾何
  2. 座標
  3. ベクトル

※数学Ⅲまで学習している人は、4.複素数平面,5.極座標 などもあります!

基本的な問題で、上のPointについてで紹介しています.

【差がつく考え方】平面図形の3つのアプローチ!(幾何・座標・ベクトル)ご参考に!

【差がつく考え方】平面図形の3つのアプローチ!(幾何・座標・ベクトル)
2次試験の数学において、平面図形は合否を分けることがよくあります。幾何、座標、ベクトルの3タイプのアプローチの仕方を学びましょう。最後まで解けなくても、部分点を取ることが大切。練習でできないことは本番ではできません!

本問では様々な解法が考えられますが,ここでは「1.幾何」を利用した解法を紹介します!

解答

(1)

\(\displaystyle\frac{\overrightarrow{PA}}{\left|\overrightarrow{PA}\right|}=\overrightarrow{PX}\) , \(\displaystyle\frac{\overrightarrow{PB}}{\left|\overrightarrow{PB}\right|}=\overrightarrow{PY}\) , \(\displaystyle\frac{\overrightarrow{PC}}{\left|\overrightarrow{PC}\right|}=\overrightarrow{PZ}\)

となる点をそれぞれ \(X\) , \(Y\) , \(Z\) とおく.

条件より,\(\overrightarrow{PX}+\overrightarrow{PY}+\overrightarrow{PZ}=\overrightarrow{0}\) より

\(\displaystyle\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{PX}+\overrightarrow{PY}+\overrightarrow{PZ}\right)=\overrightarrow{0}=\overrightarrow{PP}\) なので

点 \(P\) は \(\triangle XYZ\) の重心 ・・・① となる.

また,\(\left|\overrightarrow{PX}\right|\) , \(\left|\overrightarrow{PY}\right|\) , \(\left|\overrightarrow{PZ}\right|=1\) より,

点 \(P\) は \(\triangle XYZ\) の外心 ・・・② となる.

①,②より,重心と外心が一致するので,\(\triangle XYZ\) は正三角形となる.

したがって,\(\angle APB=\angle APC=120°\)

(2)

\(\angle BAC=90°\) , \(AB=1\) , \(AC=\sqrt{3}\) より,\(BC=2\) , \(\angle ABC=60°\)

ここで \(\angle PAB=\alpha\) とおく.

\(\angle ABP=180°-(\alpha+120°)=60°-\alpha\)

\(\angle PBC=\angle ABC-\angle ABP=60°-(60°-\alpha)=\alpha\)

よって,\(\angle PAB=\angle PBC\) ・・・③

また(1)より \(\angle APB=\angle BPC=120°\) ・・・④

③,④より \(\triangle PAB\text{∽}\triangle PBC\)

\(PA=x\) とおくと

\(PA : AB=PB : BC\) より

\(x : 1=PB : 2\) \(\iff\) \(PB=2x\)

また,\(AB : PB=BC : PC\) より

\(1 : 2x=2 : PC\) \(\iff\) \(PC=4x\)

\(\triangle PAB\) で余弦定理より

\(x^2+(2x)^2-2\cdot x\cdot 2x\cdot\cos 120°=1^2\)

\(x^2=\displaystyle\frac{1}{7}\)

\(x>0\) より \(x=\displaystyle\frac{\sqrt{7}}{7}\)

したがって,

\(PA=\displaystyle\frac{\sqrt{7}}{7}\) , \(PB=\displaystyle\frac{2\sqrt{7}}{7}\) , \(PC=\displaystyle\frac{4\sqrt{7}}{7}\)

 

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