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【2022共通テスト】数学ⅠA:第1問[3](図形と計量)|正弦定理・三角比の定義

数学(大学入試問題)

【2022数学ⅠA】第1問[3](図形と計量)

問題と解答・解説《ソ〜ヒ》

解答・解説《ソ〜ヒ》

(1)

正弦定理より( \(R\) は外接円の半径 )

\(2R=\displaystyle\frac{AC}{\sin \angle ABC}\) \(\iff\) \(2\times 3=\displaystyle\frac{4}{\sin \angle ABC}\)

よって \(\sin \angle ABC=\displaystyle\frac{2}{3}\) ・・・《ソタ》

次に \(\triangle ABD\) に注目して三角比の定義より

\(\sin \angle ABC=\displaystyle\frac{AD}{AB}\) \(\iff\) \(\displaystyle\frac{2}{3}=\displaystyle\frac{AD}{5}\)

よって \(AD=\displaystyle\frac{10}{3}\) ・・・《チツテ》

(2)

\(AB=x\) , \(AC=y\) とおくと

\(2x+y=14\) \(\iff\) \(y=-2x+14\) ・・・②

円の弦の長さは円の直径以下なので

\(0<x≦6\) かつ \(0<y≦6\)

①より

\(0<x≦6\) かつ \(0<-2x+14≦6\)

よって \(4≦x≦6\)

\(4≦AB≦6\) ・・・《トナ》

また,(1)と同様に

正弦定理より \(2\times 3=\displaystyle\frac{y}{\sin \angle ABC}\)

\(\iff\) \(\sin \angle ABC=\displaystyle\frac{y}{6}\)

①より

\(\sin \angle ABC=\displaystyle\frac{-2x+14}{6}=\displaystyle\frac{-x+7}{3}\) であり,

三角比の定義から \(\sin \angle ABC=\displaystyle\frac{AD}{x}\) であるので

\(AD=x\cdot\sin \angle ABC=x\cdot\displaystyle\frac{-x+7}{3}=\displaystyle\frac{-1}{3}x^2+\displaystyle\frac{7}{3}x\)

よって,\(AD=\)\(\displaystyle\frac{-1}{3}AB^2+\displaystyle\frac{7}{3}AB\) ・・・《ニ〜ハ》

\(AD=\)\(\displaystyle\frac{-1}{3}x^2+\displaystyle\frac{7}{3}x=-\displaystyle\frac{1}{3}\left(x-\displaystyle\frac{7}{2}\right)^2+\displaystyle\frac{49}{12}\) 

\(4≦x≦6\) であることに注意すると

\(x=4\) のとき \(AD\) は最大値 \(4\) ・・・《ヒ》

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