【2022大阪医科薬科大学・看護・[5]】

解答・解説

解答・解説

反復試行の確率

さいころを繰り返し \(n\) 回投げる　👉　反復試行

【反復試行】

1回の試行で事象 A が起こる確率を \(p\) としたとき、この試行を \(n\) 回行う反復試行の確率で、Aがちょうど \(r\) 回起こる確率は \(_{n}\rm{C}_{r} p^{r} (1-p)^{n-r}\)

(１)　赤玉がちょうど２個

\(_{5}C_{2}\left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)^2\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^3=\) \(\displaystyle\frac{80}{243}\) ・・・( d )

(２)　赤と白が交互

( ⅰ )　最初に赤玉がでるとき(赤白赤白赤)

\(\displaystyle\frac{1}{3}\times \displaystyle\frac{2}{3}\times\displaystyle\frac{1}{3}\times \displaystyle\frac{2}{3}\times\displaystyle\frac{1}{3}=\displaystyle\frac{4}{243}\)

( ⅱ )　最初に白玉がでるとき(白赤白赤白)

\(\displaystyle\frac{2}{3}\times \displaystyle\frac{1}{3}\times\displaystyle\frac{2}{3}\times \displaystyle\frac{1}{3}\times\displaystyle\frac{2}{3}=\displaystyle\frac{8}{243}\)

よって，\(\displaystyle\frac{4}{243}+\displaystyle\frac{8}{243}=\)\(\displaystyle\frac{4}{81}\) ・・・( a )

(３)　白玉の回数が多い

( ⅰ )　白玉がちょうど \(3\) 回出るとき

つまり，赤玉がちょうど \(2\) 回出るときなので，(１)より \(\displaystyle\frac{80}{243}\)

( ⅱ )　白玉がちょうど \(4\) 回出るとき

\(_{5}C_{4}\left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^4=\displaystyle\frac{80}{243}\)

( ⅲ )　白玉がちょうど \(5\) 回出るとき

\(\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^5=\displaystyle\frac{32}{243}\)

( ⅰ )〜( ⅲ )より

\(\displaystyle\frac{80}{243}+\displaystyle\frac{80}{243}+\displaystyle\frac{32}{243}=\displaystyle\frac{192}{243}=\)\(\displaystyle\frac{64}{81}\) ・・・( e )

(４)　赤玉が \(3\) 回以上連続

( ⅰ )　赤玉が \(5\) 回連続するとき

\(\left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)^5=\displaystyle\frac{1}{243}\)

( ⅱ )　赤玉が \(4\) 回連続するとき

(ア)　\(1\) 回目が白玉で，\(2\)〜\(5\) 回目が赤玉

\(\displaystyle\frac{2}{3}\times \left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)^4=\displaystyle\frac{2}{243}\)

(イ)　\(1\)〜\(4\) 回目が赤玉で，\(5\) 回目が白玉

\(\left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)^4\times \displaystyle\frac{2}{3}=\displaystyle\frac{2}{243}\)

よって(ア)，(イ)より

\(\displaystyle\frac{2}{243}+\displaystyle\frac{2}{243}=\displaystyle\frac{4}{243}\)

( ⅲ )　赤玉が \(3\) 回連続するとき

(ウ)　\(1\)〜\(3\) 回目が赤玉で，\(4\) 回目が白玉

\(5\) 回目はどちらでもよいので，

\(\left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)^3\times \displaystyle\frac{2}{3}\times \displaystyle\frac{3}{3}=\displaystyle\frac{6}{243}\)

(エ)　\(1\) 回目に白玉，\(2\)〜\(4\) 回目が赤玉，\(5\) 回目が白玉

\(\displaystyle\frac{2}{3}\times \left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)^3\times \displaystyle\frac{2}{3}=\displaystyle\frac{4}{243}\)

(オ)　\(1\) 回目どちらでもよく，\(2\) 回目に白玉，\(3\)〜\(5\) 回目に赤玉

\(\displaystyle\frac{3}{3}\times \displaystyle\frac{2}{3}\times \left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)^3=\displaystyle\frac{6}{243}\)

(ウ)〜(オ)より

\(\displaystyle\frac{6}{243}+\displaystyle\frac{4}{243}+\displaystyle\frac{6}{243}=\displaystyle\frac{16}{243}\)

したがって，( ⅰ )〜( ⅲ )より

\(\displaystyle\frac{1}{243}+\displaystyle\frac{4}{243}+\displaystyle\frac{16}{243}=\)\(\displaystyle\frac{7}{81}\) ・・・( b )

(５)　赤玉が \(2\) 回以上連続

\(2\) 回連続となると，様々なパターンが考えられ，なかなかに大変かと・・・

そのような時は，「余事象」を考える習慣を！

結果的にどちらが楽に求められるかを考え，適切な方を選べるようにしておきましょう！

※参考として下記では，余事象を利用した解答と、正攻法(そのまま考える)での解答を紹介しておきます。

余事象を利用した解答

「赤玉が \(2\) 回以上連続しない」場合を考える．

赤玉が \(5\) 回中何回出るかで場合分けをして考える．

( ⅰ )　赤が \(0\) 回のとき( \(5\) 回とも白玉 )

\(\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^5=\displaystyle\frac{32}{243}\)

( ⅱ )　赤が \(1\) 回のとき

\(_{5}C_{1}\left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^4=\displaystyle\frac{80}{243}\)

( ⅲ )　赤が \(2\) 回のとき

赤玉がちょうど \(2\) 回出るのは，\(_{5}C_{2}=10\) 通りあるが，この中で，

\(1\) 回目と \(2\) 回目に赤玉が出る場合，

\(2\) 回目と \(3\) 回目に赤玉が出る場合，

\(3\) 回目と \(4\) 回目に赤玉が出る場合，

\(4\) 回目と \(5\) 回目に赤玉が出る場合の \(4\) 通りは条件に合わない．

よって，「赤玉がちょうど \(2\) 回出る」かつ「赤玉が \(2\) 回以上連続しない」ときの確率は，

\((10-4)\times \left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)^2\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^3=\displaystyle\frac{48}{243}\)

( ⅳ )　赤が \(3\) 回のとき

このとき「赤玉が \(2\) 回以上しない」のは，「赤白赤白赤」の場合のみ

よって，\(\displaystyle\frac{1}{3}\times \displaystyle\frac{2}{3}\times\displaystyle\frac{1}{3}\times \displaystyle\frac{2}{3}\times\displaystyle\frac{1}{3}=\displaystyle\frac{4}{243}\)

( ⅰ )〜( ⅳ ) より

\(\displaystyle\frac{32}{243}+\displaystyle\frac{80}{243}+\displaystyle\frac{48}{243}+\displaystyle\frac{4}{243}=\displaystyle\frac{164}{243}\)

したがって求める確率は，

\(1-\displaystyle\frac{164}{243}=\)\(\displaystyle\frac{79}{243}\) ・・・( a )

正攻法での解答

( ⅰ )　\(1\) 回目が赤玉のとき

(ア)　\(2\) 回目が赤玉

このとき，\(3\) 〜 \(5\) 回目はどちらでもよいので，

\(\displaystyle\frac{1}{3}\times \displaystyle\frac{1}{3}\times \left(\displaystyle\frac{3}{3}\right)^3=\displaystyle\frac{27}{243}\)

(イ)　\(2\) 回目が白玉

このとき，\(3\) 〜 \(5\) 回目の中で \(2\) 回以上連続して赤玉が出るのは，

・\(3\) 〜 \(5\) 回すべてが赤玉：\(\displaystyle\frac{1}{3}\times \displaystyle\frac{2}{3}\times \left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)^3=\displaystyle\frac{2}{243}\)

・\(3\)，\(4\) 回目だけ赤玉：\(\displaystyle\frac{1}{3}\times \displaystyle\frac{2}{3}\times\left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)^2\times \displaystyle\frac{2}{3}=\displaystyle\frac{4}{243}\)

・\(4\)，\(5\) 回目だけ赤玉：\(\displaystyle\frac{1}{3}\times \displaystyle\frac{2}{3}\times\displaystyle\frac{2}{3}\times\left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)^2=\displaystyle\frac{4}{243}\)

よって，\(\displaystyle\frac{2}{243}+\displaystyle\frac{4}{243}+\displaystyle\frac{4}{243}=\displaystyle\frac{10}{243}\)

( ⅱ )　\(1\) 回目が白玉のとき

(ウ)　\(2\) 回目が赤玉

このとき\(3\) 〜 \(5\) 回目の中で \(2\) 回以上連続して赤玉が出るのは，①または②を満たせばよい．

①　\(3\) 回目が赤玉のときは，\(4\)，\(5\) 回目はどちらでもよいので

\(\displaystyle\frac{2}{3}\times \displaystyle\frac{1}{3}\times \displaystyle\frac{1}{3}\times \left(\displaystyle\frac{3}{3}\right)^2=\displaystyle\frac{18}{243}\)

②　\(3\) 回目が白玉のときは，\(4\)，\(5\) 回目は赤玉になればよいので

\(\displaystyle\frac{2}{3}\times \displaystyle\frac{1}{3}\times \displaystyle\frac{2}{3}\times \left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)^2=\displaystyle\frac{4}{243}\)

①，②より，\(\displaystyle\frac{18}{243}+\displaystyle\frac{4}{243}=\displaystyle\frac{22}{243}\)

(エ)　\(2\) 回目が白玉

このとき\(3\) 〜 \(5\) 回目の中で \(2\) 回以上連続して赤玉が出るのは，，①または②または③を満たせばよい．

①　\(3\) 〜 \(5\) 回目すべて赤玉：\(\displaystyle\frac{2}{3}\times \displaystyle\frac{2}{3}\times \left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)^3=\displaystyle\frac{4}{243}\)

②　\(3\)，\(4\) 回目だけ赤玉：\(\displaystyle\frac{2}{3}\times \displaystyle\frac{2}{3}\times\left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)^2\times \displaystyle\frac{2}{3}=\displaystyle\frac{8}{243}\)

③　\(4\)，\(5\) 回目だけ赤玉：\(\displaystyle\frac{2}{3}\times \displaystyle\frac{2}{3}\times \displaystyle\frac{2}{3}\times\left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)^2=\displaystyle\frac{8}{243}\)

①〜③より

\(\displaystyle\frac{4}{243}+\displaystyle\frac{8}{243}+\displaystyle\frac{8}{243}=\displaystyle\frac{20}{243}\)

したがって(ア)〜(エ)より

\(\displaystyle\frac{27}{243}+\displaystyle\frac{10}{243}+\displaystyle\frac{22}{243}+\displaystyle\frac{20}{243}=\)\(\displaystyle\frac{79}{243}\) ・・・( a )