【2023一橋大学・第２問】
\(a\) を正の実数とする．\(2\) つの曲線 \(C_{1}\)：\(y=x^3+2ax^2\) および
\(C_{2}\)：\(y=3ax^2-\displaystyle\frac{3}{a}\) の両方に接する直線が存在するような \(a\) の範囲を求めよ．
解答・解説
\(f(x)=x^3+2ax^2\)，\(g(x)=3ax^2-\displaystyle\frac{3}{a}\) とおく．
\(f^{\prime}(x)=3x^2+4ax\) より
\(y=f(x)\) 上の点 \(\left(t,f(t)\right)\) における接線の方程式は，
\(y-(t^3+2at^2)=(3t^2+4at)(x-t)\)
\(y=(3t^2+4at)x-2t^3-2at^2\)
これが \(y=g(x)\) と接するので
\((3t^2+4at)x-2t^3-2at^2=3ax^2-\displaystyle\frac{3}{a}\)
\(3ax^2-(3t^2+4at)x+2t^3+2at^2-\displaystyle\frac{3}{a}=0\) ・・・②
方程式②の判別式を \(D\) とすると，\(D=0\) となればよいので
\(D=(3t^2+4at)^2-4\times 3a\times \left(2t^3+2at^2-\displaystyle\frac{3}{a}\right)=0\)
\(9t^4-8a^2t^2+36=0\)
ここで，\(t^2=u\) (\(u≧0\)) とおく．
\(9u^2-8a^2u+36=0\)
左辺を \(h(u)\) とおくと
題意は，\(u≧0\) において \(h(u)=0\) が実数解をもつことと同値である．
\(u≧0\) において \(h(u)=0\) が実数解をもつとき
\(h(u)=0\) の判別式を \(D^{\prime}\) とすると
\(\begin{cases}\displaystyle\frac{D^{\prime}}{4}≧0\\y=h(u)の軸>0\\h(0)>0 \end{cases}\)
を満たせばよい．
\(\displaystyle\frac{D^{\prime}}{4}≧0\) \(\iff\) \((4a^2)^2-9\times 36≧0\)
\(\iff\) \(a^4≧\displaystyle\frac{81}{4}\)
\(a^2>0\) より \(a^2≧\displaystyle\frac{9}{2}\)
\(a>0\) より \(a≧\displaystyle\frac{3}{\sqrt{2}}\)
\(y=h(u)\) の軸は \(u=\displaystyle\frac{4}{9}a^2>0\) となり常に成立．
\(h(0)=36>0\) となり常に成立．
したがって，\(a≧\displaystyle\frac{3}{\sqrt{2}}\)
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