【2021数学ⅠA(第2日程)】第２問[１](2次関数)

(１)問題と解答・解説《ア〜ウ》

\(1\) 皿あたりの価格を \(x\) 円，売り上げ数を \(z\) 皿とすると，\(z\) は \(x\) の \(1\) 次関数であるから表より，\(x+z=400\) が成り立つ．

よって，\(z=400-x\) ・・・《ア〜ウ》

利益を \(y\) 円とおくと，問題文から

\(y=\)(売上金額)ー(必要な経費) で求まり，

(売上金額)＝(\(1\) 皿あたりの価格)×(売上数)，(必要な経費)＝(材料費)＋(賃貸料) であるから

\(y=xz-(160z+6000)\)

①より \(z=400-x\) であるから，代入して式を整理すると

\(y=-x^2+560x-7\times 10000\) ・・・《エ〜キ》

\(y=-x^2+560x-70000\) より

\(y=-(x-280)^2+8400\)

また，\(x\) のとり得る値の範囲は，\(x≧0\) , \(z≧0\) であるから

\(x≧0\) , \(400-x≧0\)

よって，\(0≦x≦400\)

この範囲において \(y\) が最大となるのは，

\(1\) 皿あたりの価格が \(280\) 円・・・《ク〜コ》のとき，

最大の利益は \(8400\) 円・・・《サ〜セ》

\(y≧7500\) を満たす \(x\) について

\(y=-x^2+560x-70000≧7500\)

\(x^2-560x+77500≦0\)

\((x-250)(x-310)≦0\)

\(250≦x≦310\)

よって，利益が \(7500\) 円以上となる \(1\) 皿あたりの価格のうち，最も安い価格は \(250\) 円・・・《ソ〜チ》