【2022千葉大学】n個のサイコロの目の積が4では割り切れるが3では割り切れない確率

【2022千葉大学・第５問】

\(n\) を自然数とする． \(n\) 個のサイコロを同時に投げ，出た目の積を \(M\) とおく．

(１)　\(M\) が \(2\) でも \(3\) でも割り切れない確率を求めよ．

(２)　\(M\) が \(2\) で割り切れるが，\(3\) でも \(4\) でも割り切れない確率を求めよ．

(３)　\(M\) が \(4\) では割り切れるが，\(3\) では割り切れない確率を求めよ．

解答・解説

\(M\) が \(2\) でも \(3\) でも割り切れないのは，

すべてのサイコロの目が \(1\) または \(5\) となるときである．

よって求める確率は，\(\displaystyle\frac{2^n}{6^n}=\displaystyle\frac{1}{3^n}\)

\(M\) が \(2\) で割り切れるが，\(3\) でも \(4\) でも割り切れないのは，

\(n\) 個のうち \(1\) つのサイコロの目が \(2\) であり，その他の \(n-1\) 個のサイコロの目が \(1\) または \(5\) となるときである．

よって求める確率は，\(\displaystyle\frac{_{n}C_{1}\cdot 1\cdot 2^{n-1}}{6^n}=\displaystyle\frac{n}{2\cdot 3^n}\)

\(M\) が \(4\) では割り切れるが，\(3\) では割り切れないのは，

\(n\) 個のサイコロの目すべてが \(1\)，\(2\)，\(4\)，\(5\) のいずれかの場合から，

\(M\) が \(2\) で割り切れない場合と，\(M\) が \(2\) で割り切れるが \(3\) でも \(4\) でも割り切れない場合を除いた場合となる．

求める確率は，(１)，(２)の結果から

\(\displaystyle\frac{4^n-2^n-n\cdot 2^{n-1}}{6^n}=\displaystyle\frac{2^{n+1}-(n+2)}{2\cdot 3^n}\)