【2021数学ⅠA(第2日程)】第4問(整数の性質)
(１)問題と解答・解説《ア〜オ》
(１)解答・解説《ア〜オ》
\(m\) は正の整数，\(a\)，\(b\)，\(c\)，\(d\) は整数．
\(a^2+b^2+c^2+d^2=m\) ，\(a≧b≧c≧d≧0\) ・・・①
①より，\(a^2≦a^2+b^2+c^2+d^2≦a^2+a^2+a^2+a^2\)
よって，\(a^2≦m≦4a^2\) ・・・②
\(m=14\) のとき，②より
\(a^2≦14≦4a^2\) \(\iff\) \(\displaystyle\frac{7}{2}≦a^2≦14\)
これをみたす \(0\) 以上の整数 \(a\) は，\(a=2,3\)
・\(a=2\) のとき
①より，\(2^2+b^2+c^2+d^2=14\)
\(b^2+c^2+d^2=10\) ・・・③
③と \(2≧b≧c≧d≧0\) より
\(b^2≦b^2+c^2+d^2≦b^2+b^2+b^2=3b^2\)
③より，\(b^2≦10≦3b^2\) \(\iff\) \(\displaystyle\frac{10}{3}≦b^2≦10\)
これをみたす \(0≦b≦2(=a)\) の整数 \(b\) は，\(b=2\) のみ
このとき③より，
\(2^2+c^2+d^2=10\)
\(c^2+d^2=6\)
しかしこれを満たす整数 \(c\) , \(d\) は存在しない．
よって，\(a=2\) は不適
・\(a=3\) のとき
①より，\(3^2+b^2+c^2+d^2=14\)
\(b^2+c^2+d^2=5\) ・・・④
④と \(3≧b≧c≧d≧0\) より
\(b^2≦b^2+c^2+d^2≦b^2+b^2+b^2=3b^2\)
④より，\(b^2≦5≦3b^2\) \(\iff\) \(\displaystyle\frac{5}{3}≦b^2≦5\)
これをみたす \(0≦b≦3(=a)\) の整数 \(b\) は，\(b=2\) のみ
このとき④より，
\(2^2+c^2+d^2=5\)
\(c^2+d^2=1\)
これを満たす \(2≧c≧d≧0\) の整数は，
\(c=1\) ，\(d=0\)
よって，\((a,b,c,d)=(3,2,1,0)\) ・・・《ア〜エ》
また，\(m=28\) のとき②より
\(a^2≦28≦4a^2\) \(\iff\) \(7≦a^2≦28\)
これをみたす \(0\) 以上の整数 \(a\) は，\(a=3,4,5\)
・\(a=3\) のとき
①より，\(3^2+b^2+c^2+d^2=28\)
\(b^2+c^2+d^2=19\) ・・・⑤
⑤と \(3≧b≧c≧d≧0\) より
\(b^2≦b^2+c^2+d^2≦b^2+b^2+b^2=3b^2\)
⑤より，\(b^2≦19≦3b^2\) \(\iff\) \(\displaystyle\frac{19}{3}≦b^2≦19\)
これをみたす \(0≦b≦3(=a)\) の整数 \(b\) は，\(b=3\) のみ
このとき⑤より，
\(3^2+c^2+d^2=19\)
\(c^2+d^2=10\)
これを満たす \(3≧c≧d≧0\) の整数は，
\(c=3\) ，\(d=1\)
よって，\((a,b,c,d)=(3,3,3,1)\)
・\(a=4\) のとき
①より，\(4^2+b^2+c^2+d^2=28\)
\(b^2+c^2+d^2=12\) ・・・⑥
⑥と \(4≧b≧c≧d≧0\) より
\(b^2≦b^2+c^2+d^2≦b^2+b^2+b^2=3b^2\)
⑥より，\(b^2≦12≦3b^2\) \(\iff\) \(4≦b^2≦12\)
これをみたす \(0≦b≦4(=a)\) の整数 \(b\) は，\(b=2,3\)
\(b=2\) のとき，⑥より
\(2^2+c^2+d^2=12\)
\(c^2+d^2=8\)
これを満たす \(2≧c≧d≧0\) の整数は，
\(c=d=2\)
よって，\((a,b,c,d)=(4,2,2,2)\)
\(b=3\) のとき，⑥より
\(3^2+c^2+d^2=12\)
\(c^2+d^2=3\)
これを満たす整数 \(c\)，\(d\) は存在しない．
・\(a=5\) のとき
①より，\(5^2+b^2+c^2+d^2=28\)
\(b^2+c^2+d^2=3\)
これを満たす整数は，\(b=c=d=1\) のみ
よって，\((a,b,c,d)=(5,1,1,1)\)
したがって，①を満たす整数 \(a\)，\(b\)，\(c\)，\(d\) の組の個数は，\(3\) 個・・・《オ》
(２)問題と解答・解説《カ》
(２)解答・解説《カ》
\(a\) が奇数のとき，整数 \(n\) を用いて \(a=2n+1\) と表す．
\(a^2-1=(a+1)(a-1)=4n(n+1)\)
\(n(n+1)\) は偶数であるから，整数 \(l\) を用いて
\(n(n+1)=2l\) とおける．
よって，\(a^2-1=4\cdot 2l=8l\)
これより，\(a^2-1\) は \(8\) の倍数である．
したがって，\(h=8\) ・・・《カ》
よって \(a\) が奇数のとき，
\(a^2-1=8l\) \(\iff\) \(a^2=8l+1\) より
\(a^2\) を \(8\) で割ったときの余りは \(1\) である．
また，\(a\) が偶数のとき，\(a=2n\) ( \(n\) は整数 ) とおくと \(a^2=4n^2\)
\(k\) を整数として
\(n\) が偶数のとき \(n=2k\) とすると，\(a^2=8k^2\)
\(n\) が奇数のとき \(n=2k+1\) とすると，\(a^2=4(2k+1)^2=8(2k^2+2k)+4\) より
\(a^2\) を \(8\) で割った余りは \(0\) または \(4\)
(３)問題と解答・解説《キ》
(３)解答・解説《キ》
(２)より \(a^2+b^2+c^2+d^2\) を \(8\) で割った余りは
| 偶数 | 奇数 | \(a^2+b^2+c^2+d^2\) を \(8\) で割った余り |
| \(4\) 個 | \(0\) 個 | \(0\) または \(4\) |
| \(3\) 個 | \(1\) 個 | \(1\) または \(5\) |
| \(2\) 個 | \(2\) 個 | \(2\) または \(6\) |
| \(1\) 個 | \(3\) 個 | \(3\) または \(7\) |
| \(0\) 個 | \(4\) 個 | \(4\) |
\(a^2+b^2+c^2+d^2\) が \(8\) の倍数ならば，整数 \(a\)，\(b\)，\(c\)，\(d\) のうち偶数であるものの個数は，\(4\) 個・・・《キ》
(４)問題と解答・解説《ク〜シ》
(４)解答・解説《ク〜シ》
\(m=224\) のとき①より
\(a^2+b^2+c^2+d^2=224=8\times 28\) ・・・⑦
\(a^2+b^2+c^2+d^2\) は \(8\) の倍数であるから (３) より
\(a\)，\(b\)，\(c\)，\(d\) はすべて偶数となる．
よって整数 \(x\)，\(y\)，\(z\)，\(w\) ( \(x≧y≧z≧w≧0\) ) を用いて
\(a=2x\)，\(b=2y\)，\(c=2z\)，\(d=2w\) とおける．
⑦に代入すると，
\(\left(2x\right)^2+\left(2y\right)^2+\left(2z\right)^2+\left(2w\right)^2=8\times 28\)
\(x^2+y^2+z^2+w^2=8\times 7\) ・・・⑧
\(x^2+y^2+z^2+w^2\) は \(8\) の倍数であるから (３) より
\(x\)，\(y\)，\(z\)，\(w\) はすべて偶数となる．
よって整数 \(x^{\prime}\)，\(y^{\prime}\)，\(z^{\prime}\)，\(w^{\prime}\) ( \(x^{\prime}≧y^{\prime}≧z^{\prime}≧w^{\prime}≧0\) ) を用いて
\(x=2x^{\prime}\)，\(y=2y^{\prime}\)，\(z=2z^{\prime}\)，\(w=2w^{\prime}\) とおける．
⑧に代入すると，
\(\left(2x^{\prime}\right)^2+\left(2y^{\prime}\right)^2+\left(2z^{\prime}\right)^2+\left(2w^{\prime}\right)^2=8\times 28\)
\((x^{\prime})^2+(y^{\prime})^2+(z^{\prime})^2+(w^{\prime})^2=14\)
(１)の結果から，これを満たす整数 \(x^{\prime}\)，\(y^{\prime}\)，\(z^{\prime}\)，\(w^{\prime}\) は
\((x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime},w^{\prime})=(3,2,1,0)\)
これより，\((x,y,z,w)=(6,4,2,0)\)
したがって，\((a,b,c,d)=(12,8,4,0)\) ・・・《ク〜シ》
(５)問題と解答・解説《ス〜タ》
(５)解答・解説《ス〜タ》
\(896=7\times 2^7\) より
\(7\) の倍数で，\(896\) の約数で正の整数 \(m\) は
\(m=7,7\times 2,7\times 2^3,\cdots,7\times 2^7\) のいずれか．
(あ) \(m=7\) のとき
\(a^2+b^2+c^2+d^2=7\) ，\(a≧b≧c≧d≧0\)
を満たす整数 \(a\)，\(b\)，\(c\)，\(d\) の組は
\((a,b,c,d)=(2,1,1,1)\) の \(1\) 組
(い) \(m=7\times 2=14\) のとき
(１)の結果から，整数 \(a\)，\(b\)，\(c\)，\(d\) の組は \(1\) 組
(う) \(m=7\times 2^2=28\) のとき
(１)の結果から，整数 \(a\)，\(b\)，\(c\)，\(d\) の組は \(3\) 組
(え) \(m=7\times 2^3\) のとき
\(a^2+b^2+c^2+d^2=7\times 2^3\) ，\(a≧b≧c≧d≧0\)
\(a^2+b^2+c^2+d^2\) は \(8\) の倍数であるから，(４)と同様に考え
\(x^2+y^2+z^2+w^2=7\times 2\) ，\(x≧y≧z≧w≧0\)
これを満たす整数 \(x\)，\(y\)，\(z\)，\(w\) の組は(１)より \(1\) 組
よって，整数 \(a\)，\(b\)，\(c\)，\(d\) の組は の \(1\) 組
(お) \(m=7\times 2^4\) のとき
(え)と同様に考え
\(x^2+y^2+z^2+w^2=7\times 2^2=28\) ，\(x≧y≧z≧w≧0\)
(１)よりこれを満たす整数 \(x\)，\(y\)，\(z\)，\(w\) の組は \(3\) 組
よって，整数 \(a\)，\(b\)，\(c\)，\(d\) の組は の \(3\) 組
(か) \(m=7\times 2^5=224\) のとき
(４)の結果から，これを満たす整数 \(a\)，\(b\)，\(c\)，\(d\) の組は の \(1\) 組
(き) \(m=7\times 2^6\) のとき
(４)と同様に考え
\((x^{\prime})^2+(y^{\prime})^2+(z^{\prime})^2+(w^{\prime})^2=7\times 2^2=28\)
(１)より，これを満たす整数 \(x^{\prime}\)，\(y^{\prime}\)，\(z^{\prime}\)，\(w^{\prime}\) は \(3\) 組
よって整数 \(a\)，\(b\)，\(c\)，\(d\) の組は \(3\) 組
(く) \(m=7\times 2^7\) のとき
(４)と同様に考え
\((x^{\prime})^2+(y^{\prime})^2+(z^{\prime})^2+(w^{\prime})^2=7\times 2^3\)
(え)の結果から，これを満たす整数 \(x^{\prime}\)，\(y^{\prime}\)，\(z^{\prime}\)，\(w^{\prime}\) は \(1\) 組
よって整数 \(a\)，\(b\)，\(c\)，\(d\) の組は \(1\) 組
したがって，条件を満たすものは \(3\) 個・・・《ス》
そのうち最大のものは \(m=7\times 2^6=\)\(448\) ・・・《セ〜タ》
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