【2021数学ⅡB(第２日程)】第１問[１](指数・対数関数)

(１)問題と解答・解説《ア〜オ》

\(\log_{10}{10}=1\) ・・・《ア》 である．

また，\(\log_{10}{5}=\log_{10}{\displaystyle\frac{10}{2}}=\log_{10}{10}-\log_{10}{2}\) より

\(\log_{10}{5}=-\log_{10}{2}+1\) ・・・《イウ》

\(\log_{10}{15}=\log_{10}{3\times 5}=\log_{10}{3}+\log_{10}{5}=\log_{10}{3}+\left(-\log_{10}{2}+1\right)\)

よって，\(\log_{10}{15}=-\log_{10}{2}+\log_{10}{3}+1\) ・・・《エオ》

常用対数における桁数問題、最高位の数字に関する問題は頻出の有名問題です！

\(\log_{10}{15^{20}}=20\times \log_{10}{15}=20(-\log_{10}{2}+\log_{10}{3}+1)\)

\(\log_{10}{2}=0.3010\)，\(\log_{10}{3}=0.4771\) を代入して計算すると

\(\log_{10}{15^{20}}=23.522\)

\(23<\log_{10}{15^{20}}<\23+1) ・・・《カキ》

を満たす．よって，\(15^{20}\) は \(24\) 桁・・・《クケ》

\(\log_{10}{15^{20}}\) の小数部分は

\(\log_{10}{15^{20}}-23=0.522\) であり，

\(\log_{10}{3}=0.4771\)，\(\log_{10}{4}=2\times \log_{10}{2}=0.6020\) なので

\(\log_{10}{3}<\log_{10}{15^{20}}-23<\log_{10}{4}\) ・・・《コ》が成立

しがたって，

\(23+\log_{10}{3}<\log_{10}{15^{20}}<23+\log_{10}{4}\)

\(\log_{10}{3\times 10^{23}}<\log_{10}{15^{20}}<\log_{10}{4\times 10^{23}}\)

\(3\times 10^{23}<15^{20}<4\times 10^{23}\) であるから，

\(15^{20}\) の最高位の数字は \(3\) ・・・《サ》