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【常用対数】桁数・最高位・一の位の求め方

数学(大学入試問題)

【問題】\(9^{50}\) について以下の問に答えよ.

( 1 ) 何桁の数か求めよ.

( 2 ) 最高位の数を求めよ.

( 3 ) 一の位の数を求めよ.

ただし、\(log_{10}2=0.3010\)、\(log_{10}3=0.4771\) とする.

桁数

考え方

具体的な数字でイメージを掴みましょう!

例えば、

「 2021 」は「 4 桁 」の自然数です.

このとき、

\(1000<2021<10000\)

\(10^3<2021<10^4\)

であり、『右辺の指数』が『桁数』と一致する

つまり、

\(10^{n-1}<9^{50}<10^n\) を満たす \(n\) を見つければ良い!

そこで常用定数(底を 10 とする対数)をとると、

\(log_{10}10^{n-1}<log_{10}9^{50}<log_{10}10^n\)

\(n-1 < log_{10}9^{50} < n\)

よって、『右辺の値』が『桁数』と一致する

\(N\) が \(n\) 桁の自然数であるとき

\(10^{n-1} ≦ N < 10^n\)

⇔ \(n-1 ≦ log_{10}N < n\)

(1)解答

\(log_{10}9^{50}=log_{10}3^{100}=100\times log_{10}3\)

\(log_{10}3=0.4771\) より、

\(log_{10}9^{50}=47.71\)

よって、

\(47 < log_{10}9^{50} < 48\)

\(10^{47} < 9^{50} < 10^{48}\)

したがって、\(9^{50}\) は 48 桁 

最高位の数

考え方

具体的な数字でイメージを掴みましょう!

例えば、

「 2021 」の最高位の数は「 2 」です.

\(2021=2.021\times 10^3=A\times 10^3\) とおくと、

\(A\) がどのくらいの数か分かれば、最高位は求まります.

2021 において、\(2<A<3\) であるから、最高位は「 2 」

 

\(N=A\times 10^a\) と表される数において、

\(n≦A<n+1\) のとき、\(N\) の最高位は「 \(n\)

予備知識

最高位を求める上で必要になる値です.事前準備として求めておきましょう!

・\(log_{10}2=0.3010\)

・\(log_{10}3=0.4771\)

・\(log_{10}4=log_{10}2^2=2log_{10}2=0.6020\)

・\(log_{10}5=log_{10}\displaystyle\frac{10}{2}=log_{10}10-log_{10}2=1-0.3010=0.6990\)

\(log_{10}5\) はよく利用します.計算の仕方も覚えておきましょう!

・\(log_{10}6=log_{10}2+log_{10}3=0.7781\)

・\(log_{10}7\) の値は・・・私は覚えていません!

必要であれば何かしらの情報が与えられると思います.

参考として近似値を載せておくと「\(log_{10}7=0.8451\)」

・\(log_{10}8=log_{10}2^3=3log_{10}2=0.9030\)

・\(log_{10}9=log_{10}3^2=2log_{10}3=0.9542\)

(2)解答

(1)より、

\(log_{10}9^{50}=47.71\) より

\(9^{50}=10^{47.71}=10^{0.71}\times 10^{47}\)

ここで、\(A=10^{0.71}\) とおく.

\(A\) がどれくらいの数かを考えれば良いね!

\(log_{10}5=0.6990\)、\(log_{10}6=0.7781\) より

\(5=10^{0.6990}\)、\(6=10^{0.7781}\)

したがって、\(5<A<6\) なので、

\(9^{50}\) の最高位の数は

一の位の数

考え方

一の位 👉 規則性あり!

一の位について問われたら、いくつか実験を行いましょう!

・\(9^1=9\) ⇒ 一の位は「 9 」

・\(9^2=81\) ⇒ 一の位は「 1 」

・\(9^3=729\) ⇒ 一の位は「 9 」

・\(9^4=6561\) ⇒ 一の位は「 1 」

となり、「 9 」と「 1 」を繰り返す.

(3)解答

\(9^n\) の一の位は、「 9 」と「 1 」を繰り返すので、

\(9^{50}\) の一の位は

【参考】(3)の補足

上の(3)の解答において、なぜに「 9 」と「 1 」を繰り返すことが言えるのか?

この解答では、「予想」と捉えられる可能性があるため、より正確な解答を 2 通り与えておきます.

別解① 合同式の利用

一の位とは、10 で割った余りのこと
10 を法として、
\(9^2≡1\) より
\((9^2)^{25}≡1^{25}=1\)
よって、\(9^{50}≡1\)
したがって、\(9^{50}\) の一の位は
合同式に不安がある人は、
を参考にしてください!

別解② 規則性を持つことを証明

\(a , b\) の一の位が等しい

👉 \(a-b\) は 10 の倍数

例えば、82 と 52 は一の位が等しい

このとき、\(82-52=30\) であるから、差をとると10 の倍数になる!

本問では、「 9 」と「 1 」を繰り返すことの証明をしたいので、

\(9^n\) と \(9^{n+2}\) の一の位の数が等しいことを証明すれば良いね!

\(9^{n+2}-9^n=81\cdot 9^n-9^n=80\cdot 9^n\)

よって差が 10 の倍数となるため、

\(9^n\) と \(9^{n+2}\) の一の位の数が等しい.

つまり、\(9^{50}\) の一の位は \(9^{48}\ , 9^{46} , \cdots , 9^2\) の一の位に等しい.

したがって、\(9^{50}\) の一の位は

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