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【2021共通テスト(第2日程)】数学ⅡB:第4問(数列)|和と一般項、漸化式

共通テスト(センター試験)

【2021数学ⅡB(第2日程)】第4問(数列)

[1]問題と解答・解説《ア〜キ》

[1]解答・解説《ア〜キ》

\(S_{n}\) と \(a_{n}\) の関係について

① \(a_{1}=S_{1}\)

② \(a_{n}=S_{n}-S_{n-1}\) ( \(n≧2\) )

\(a_{1}=S_{1}=5^1-1=4\) ・・・《ア》

また,\(n≧2\) のとき

\(a_{n}=S_{n}-S_{n-1}\) より

\(a_{n}=(5^n-1)-(5^{n-1}-1)=5\cdot 5^{n-1}-5^{n-1}\)

よって,\(a_{n}=4\cdot 5^{n-1}\) ・・・《イウ》

これは \(n=1\) のときも成り立つ.

よってすべての自然数 \(n\) に対して,

\(\displaystyle\frac{1}{a_{n}}=\displaystyle\frac{1}{4}\cdot\left(\displaystyle\frac{1}{5}\right)^{n-1}\) であるから,

数列 \(\left\{\displaystyle\frac{1}{a_{n}}\right\}\) は初項 \(\displaystyle\frac{1}{4}\) ,公比 \(\displaystyle\frac{1}{5}\) の等比数列となる

したがって,

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{\displaystyle\frac{1}{a_{k}}}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{4}\left\{1-\left(\displaystyle\frac{1}{5}\right)^n\right\}}{1-\displaystyle\frac{1}{5}}\)

\(=\displaystyle\frac{5}{16}(1-5^{-n})\) ・・・《エ〜キ》

[2](1)問題と解答・解説《ク〜セ》

[2](1)解答・解説《ク〜セ》

\(n=1\) のとき

の \(4\) 通りある.よって,\(t_{1}=4\) ・・・《ク》

 

この図から,\(2\) 以上の自然数 \(n\) に対して

\(t_{n}=r_{n}+t_{n-1}\) が成り立つ.

よって,\(A=1\) ,\(B=1\) ・・・《ケコ》

以上から,\(t_{2}=r_{2}+t_{1}=11+4=\) \(15\) ・・・《サシ》

 

同様にこの図から,\(2\) 以上の自然数 \(n\) に対して

\(r_{n}=r_{n-1}+t_{n-1}+t_{n-1}=r_{n-1}+2t_{n-1}\) が成り立つ.

よって,\(C=1\) ,\(D=2\) ・・・《スセ》

[2](2)問題と解答・解説《ソ〜テ》

[2](2)解答・解説《ソ〜テ》

畳を縦の長さが \(1\) ,横の長さが \(2\) の長方形とみなす.

縦の長さが \(3\) ,横の長さが \(6\) の長方形の部屋に畳を敷き詰めるとき,その総数は

\(r_{3}=r_{2}+2t_{2}=11+2\times 15=\)\(41\) ・・・《ソタ》

縦の長さが \(3\) ,横の長さが \(8\) の長方形の部屋に畳を敷き詰めるとき,その総数は

\(r_{4}=r_{3}+2t_{3}=r_{3}+2(r_{3}+t_{2})=3r_{3}+2t_{2}\)

\(=3\times 41+2\times 15=\)\(153\) ・・・《チツテ》

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