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不等式の証明(凸関数の利用)

数学(大学入試問題)

【問題】

\(0≦a<\displaystyle\frac{\pi}{2}\) , \(0≦b<\displaystyle\frac{\pi}{2}\) のとき

\(\tan \displaystyle\frac{a+b}{2}≦\displaystyle\frac{1}{2}(\tan a+\tan b)\)

が成り立つことを示せ.

はじめに

ここでは発展的な考え方を使って、不等式の証明を考えます。

基本的な不等式の証明については

【数学Ⅱ】不等式の証明(まとめ)解法5つ

にまとめてありますので、そちらをご確認ください。

今回の問題については、おそらく学校の授業では扱いわないと思います。

今まで一度も経験したことのない発想だと思いますので、例題を使って考え方・解答を紹介しますので、それを読んだ後に再度チャレンジしてみてください!

【例題】相加平均・相乗平均の関係の証明

\(a>0 , b>0\) のとき

\(a+b≧2\sqrt{ab}\)

等号成立は、\(a = b\) のとき

【証明】凸関数を利用した証明

上図のように \(y=log_{2}x\) のグラフ上に 2 点

\(A ( a , log_{2}a )\)、\(B ( b , log_{2}b )\) を考える.

ただし、\(0<a≦b\) とする.

このとき、2 点A、B の中点を C とすると、

C \(( \displaystyle\frac{a+b}{2} , \displaystyle\frac{log_{2}a+ log_{2}b}{2})\)

また、\(x=\displaystyle\frac{a+b}{2}\) と \(y=log_{2}x\) の交点を D とする.

つまり D \(( \displaystyle\frac{a+b}{2} , log_{2}\displaystyle\frac{a+b}{2} )\) .

 

このとき、\(y=log_{2}x\) のグラフは上に凸の関数であるから、

(点 C の \(y\) 座標) ≦ (点 D の \(y\) 座標)

よって、

\(\displaystyle\frac{log_{2}a+ log_{2}b}{2}≦log_{2}\displaystyle\frac{a+b}{2}\)

\(\displaystyle\frac{1}{2}log_{2}ab≦log_{2}\displaystyle\frac{a+b}{2}\)

\(log_{2}(ab)^{\displaystyle\frac{1}{2}}≦log_{2}\displaystyle\frac{a+b}{2}\)

\(y=log_{2}x\) は増加関数であるから、

\(\sqrt{ab}≦\displaystyle\frac{a+b}{2}\)

したがって、

\(a+b≧2\sqrt{ab}\)

等号成立は

( 点 C の \(y\) 座標 ) と ( 点 D の \(y\) 座標 ) が一致するとき、

つまり、点 A と点 B が一致するときであるから、\(a=b\) のときである.

 

補足

※本問では底を 2 とする対数で考えたが、3 でも 4 でも何でも良い.

※\(y=log_{2}x\) のグラフは上に凸の関数であることは、

数学Ⅲの履修者は \(y^{\prime\prime}\) の符号を考える必要がある.

【問題】解答

【問題】

\(0≦a<\displaystyle\frac{\pi}{2}\) , \(0≦b<\displaystyle\frac{\pi}{2}\) のとき

\(\tan \displaystyle\frac{a+b}{2}≦\displaystyle\frac{1}{2}(\tan a+\tan b)\)

が成り立つことを示せ.

\(0≦x<\displaystyle\frac{\pi}{2}\) で \(y=\tan x\) のグラフは下に凸のグラフである.

(ⅰ) \(a<b\) のとき

A \(( a , \tan a )\)、B \(( b , \tan b )\) とおき、図のように 2 点 C 、 D をとると、

C \((\displaystyle\frac{a+b}{2} , \displaystyle\frac{\tan a+\tan b}{2})\)

D \((\displaystyle\frac{a+b}{2} , \tan \displaystyle\frac{a+b}{2})\)

 

C と D の \(y\) 座標に注目すると、

\(\tan \displaystyle\frac{a+b}{2}<\displaystyle\frac{1}{2}(\tan a+\tan b)\) が成立.

 

(ⅱ) \(a=b\) のとき

(左辺)\(=\tan \displaystyle\frac{a+a}{2}=\tan a\)

(右辺)\(=\displaystyle\frac{1}{2}(\tan a+\tan a)= \tan a\)

したがって、\(a=b\) のとき等号が成立する.

 

(ⅲ)  \(a>b\) のとき

(ⅰ)と同様に考えて成立する.

したがって、題意は示された.

最後に

今回のテーマは難易度の高いテーマでした。

経験なしにこのような発想はさすがにできないと思います。

ただ網羅系で有名な問題集である「標準問題精講 数学 Ⅱ 」などにも記載されている考え方になります。

※標準問題精講にはもっと難しい形で出題されています。

 

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