場合の数・確率【順列①】演習問題｜定期考査対策

解答・考え方

(1)　\(7\) 文字を \(1\) 列に並べる総数

(1)　\(7!=7\times6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1=5040\) 通り

毎回計算しても良いのですが、値を覚えて時間短縮を！

また、\(7!\) の計算の場合、\(7!=7\times 6!=7\times 720\)

のように計算することで、大幅に時間短縮できる！

(2)　両端に並べる問題

左端・・・\(1 ～ 3\) のいずれかの \(3\) 通り

右端・・・\(1 ～ 3\) のうち、左端以外の \(2\) 通り

残り \(5\) 文字・・・\(5!\)

よって、\(3\times2\times5!=6\times120=720\) 通り

(3)　交互に並べる問題

◇・・・アルファベット、△・・・数字　とすると、

並び方は、「◇△◇△◇△◇」

◇の並び・・・\(4!\)

△の並び・・・\(3!\)

よって、\(4!\times3!=24\times6=144\) 通り

(4)　隣り合う問題

\(a\)，\(b\) を \(1\) つのかたまり \(X\) と考え

\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(A\)，\(B\)，\(X\) の \(6\) つの文字を一列に並べる方法を考える．

※\(a\)，\(b\) を \(1\) つのかたまり \(X\) と考えたため、

\(X\) 内部では、\(a b\) となる場合か、\(b a\) となるかの \(a\)，\(b\) の並び \(2!\) 通りがあることを配慮しなければいけない

よって、\(6!\times2!=720\times2=1440\) 通り

(5)、(6)　隣り合わない問題

(1)より全事象は \(5040\) 通り、

(4)より隣り合うのは \(1440\) 通りであるから

\(5040-1440=3600\) 通り

そこで、文字数関係なく隣り合わないと言われた場合、次の解法Ⅱをお勧めする

\(a\)，\(b\) 以外の文字 \(1\)，\(2\)，\(3\)，\(A\)，\(B\) の並び方は \(5!\) 通り

^ｖ◇^ｖ◇^ｖ◇^ｖ◇^ｖ◇^ｖ　　(◇・・・\(a\)，\(b\) 以外の文字)

\(a\)，\(b\) は、\(6\) つの「Ⅴ」の中から、\(2\) 箇所を選んで並べればよいので、

したがって、\(5!\times6\times5=120\times 6\times 5=3600\) 通り

(6)　(5)の解法Ⅱと同様に考える

\(1\)，\(2\)，\(3\) 以外の文字を先に並べ、両端または間に \(1\)，\(2\)，\(3\) を入れる

\(1\)，\(2\)，\(3\) 以外の文字 \(A\)，\(B\)，\(a\)，\(b\) の並び方は \(4!\) 通り

^ｖ◇^ｖ◇^ｖ◇^ｖ◇^ｖ　　(◇・・・\(1\)，\(2\)，\(3\) 以外の文字)

\(1\)，\(2\)，\(3\) は、\(5\) つの「Ⅴ」の中から、\(3\) 箇所を選んで並べればよいので、

したがって、\(4!\times5\times4\times3=1440\) 通り

さいごに

順列における \({}_n P_r\) は解答の中にあえて使用していない．

\({}_n P_r\) と \({}_n C_r\) が混同する人がよくいるが、\({}_n P_r\) は無理に使用する必要はない(一切使わなくても解ける)．