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【2019防衛医科大】三角形の成立条件による範囲の絞り込みと倍数に注目(整数問題)

数学(大学入試問題)

【2019防衛医科大学校】

\(AB=7\) , \(AC=4\) である \(\triangle ABC\) において , 辺 \(BC\) 上に \(AD=\displaystyle\frac{7}{2}\) となる点 \(D\) をとる.このとき,\(BD\) はいくらか.ただし,\(BC\) , \(BD\) は自然数とする.

三角形の成立条件・存在条件

\(a\) , \(b\) , \(c\) が三角形の \(3\) 辺となるための条件は

\(| b-c |<a<b+c\)

が成り立つこと

\(a\) が最大辺のとき \(a<b+c\) が成り立てばよい 

①相加・相乗平均の関係

②コーシー・シュワルツの不等式

③三角不等式(三角形の成立条件)

の3つの不等式は受験数学で覚えておきたい有名不等式になります!

相加平均・相乗平均の関係については「相加平均・相乗平均の関係はいつ使う?使うタイミングの見抜き方(発展)

整数問題のPoint

まず整数問題すべてに共通して言えるPointは

  1. 積の形に変形
  2. 条件から範囲を絞る
  3. 倍数や余りに注目

整数問題の多くが、上の1から3のいずれかで処理できます。

本問では,三角形の成立条件から範囲を絞り,また関係式において倍数に注目して処理しましょう!

解答・解説

\(x\) , \(y\) を自然数として

\(BD=x\) , \(DC=y\) とおく.

\(\triangle ABD\) , \(\triangle ACD\) , \(\triangle ABC\) について,

三角形の成立条件より

\(\begin{cases}7-\displaystyle\frac{7}{2}<x<7+\displaystyle\frac{7}{2}\\4-\displaystyle\frac{7}{2}<y<4+\displaystyle\frac{7}{2}\\7-4<x+y<7+4\end{cases}\)

\(\begin{cases}\displaystyle\frac{7}{2}<x<\displaystyle\frac{21}{2}\\\displaystyle\frac{1}{2}<x<\displaystyle\frac{15}{2}\\3<x+y<11\end{cases}\)

\(x\) , \(y\) は自然数であるから,

\(4≦x≦10\) ・・・①

\(1≦y≦7\) ・・・②

\(4≦x+y≦10\) ・・・③

ここで,\(\angle ADB=\theta\) とおくと \(\angle ADC=180°-\theta\) であり,

\(\cos (180°-\theta)=-\cos \theta\) であるから \(\triangle ABD\) , \(\triangle ACD\) において 余弦定理より

\(\displaystyle\frac{\left(\displaystyle\frac{7}{2}\right)^2+x^2-7^2}{2\cdot\displaystyle\frac{7}{2}\cdot x}=-\displaystyle\frac{\left(\displaystyle\frac{7}{2}\right)^2+y^2-4^2}{2\cdot\displaystyle\frac{7}{2}\cdot y}\)

これを整理して

\(4x^2y+4xy^2=15x+147y\)

\(\iff\) \(4xy(x+y)-4(4x+37y)=-(x+y)\) ・・・④

④の左辺は \(4\) の倍数であるから,\(x+y\) は \(4\) の倍数となる.

①〜③より,\(x+y=8\)・・・⑤

④に代入すると,\(8xy-4x-37y=-2\)

\(2\left\{2(2xy-x)+1\right\}=37y\)

\(2\) と \(37\) は互いに素であり,左辺は \(4\) の倍数とならない.

よって,\(y\) は \(2\) の倍数かつ \(4\) の倍数ではない・・・⑥ となる.

①,②,⑤,⑥から

よって,\(( x , y ) = ( 6 , 2 )\)

これはすべての条件を確かに満たす.

したがって,\(BD=6\)

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