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1993東京大学・理[第2問] 倍数証明、三項間漸化式、合同式、規則性

数学(大学入試問題)

【1993東京大学・理・第2問】

整数からなる数列 \(\left\{ a_{n} \right\}\) を漸化式

\(\begin{cases}a_{1}=1 , a_{2}=3\\a_{n+2}=3a_{n+1}-7a_{n}\end{cases}\) \((n = 1 , 2 \cdots)\)

によって定める.

(1) \(a_{n}\) が偶数となることと、\(n\) が \(3\) の倍数となることは同値であることを示せ.

(2) \(a_{n}\) が \(10\) の倍数となるための条件を(1)と同様の形式で求めよ.

考え方・方針について

方針が見えなければ実験!

整数問題の極意は実験です!実験の中から規則、法則を見つけ(予想し)、それをきっかけに解答を作成していきます!

\(\begin{cases}a_{1}=1 , a_{2}=3\\a_{n+2}=3a_{n+1}-7a_{n}\end{cases}\) より

\(a_{3}=3a_{2}-7a_{1}=2\)

\(a_{4}=3a_{3}-7a_{2}=-15\)

・・・

と計算していくと、下記の表のような値が求まる.

\(n\)
\(a_{n}\) -15 -59 -72 197 1095 1906
2の倍数
5の倍数

このことから、確かに \(n\) が \(3\) の倍数のとき( \(3\) つおき )に、\(a_{n}\) は偶数であることが確認できる

また、(2)の話になるが、おそらく \(n\) が \(4\) の倍数のとき( \(4\) つおき )に、\(a_{n}\) は \(5\) の倍数になりそうであるため、\(a_{n}\) が \(10\) の倍数となるための条件は、\(n\) が \(12\) の倍数のときであることが予想される.

つまり、(1)、(2)ともに周期的に \(2\) の倍数や \(5\) の倍数になることを示せばよい.

・(1)では \(3\) つ置きの周期性を言えばよいので、

\(mod 2\) と考えたときに、\(a_{n+3}≡a_{n}\)

・(2)では \(4\) つ置きの周期性を言えばよいので、

\(mod 5\) と考えたときに、\(a_{n+4}≡a_{n}\) が示せればよい.

※以下では合同式を用いた解答を紹介します。

合同式は整数問題を扱う上で、必須アイテム!

学習していない人、不安がある人は、

合同式とは?合同式の基本性質を理解し、使えるようにする

合同式(基本編)基本的な問題で合同式を使う練習

を参考にし、合同式を使いこなしましょう!

他にも、合同式を用いた解法をたくさん紹介しています。カテゴリーの整数問題で是非実践問題を用いて演習してみてください!

解答

\(\begin{cases}a_{1}=1 , a_{2}=3\\a_{n+2}=3a_{n+1}-7a_{n}\end{cases}\) \((n = 1 , 2 \cdots)\) より

\(a_{1}=1 , a_{2}=3 , a_{3}=2 , a_{4}=-15\) ・・・①

\(a_{n+2}=3a_{n+1}-7a_{n}\) ・・・② とおく.

 

(1) \(mod 2\) で考える.

②において、\(3≡7≡1\) より、

\(a_{n+3}=3a_{n+2}-7a_{n+1}≡a_{n+2}-a_{n+1}\)

また②より

\(a_{n+3}≡a_{n+2}-a_{n+1}≡(a_{n+1}-a_{n})-a_{n+1}≡-a_{n}≡a_{n}\)

つまり、\(a_{n+3}\) と \(a_{n}\) の偶奇 (\(2\) で割ったときの余り) は一致する.

①より、\(a_{1}\) は奇数、\(a_{2}\) は奇数、\(a_{3}\) は偶数なので、

\(a_{n}\) が偶数となるのは、\(n\) が \(3\) の倍数のとき

以上より題意は示された.

 

(2) \(mod 5\) で考える.

\(a_{n+4}≡3a_{n+3}-7a_{n+2}\\≡3a_{n+3}+3a_{n+2}\\≡3(3a_{n+2}+3a_{n+1})+3a_{n+2}\\≡2a_{n+2}+4a_{n+1}\\≡2(3a_{n+1}+3a_{n})+4a_{n+1}\\≡a_{n}\)

つまり、\(a_{n+4}\) と \(a_{n}\) とは、\(5\) で割ったときの余りが一致する.

①より、\(a_{1}=1 , a_{2}=3 , a_{3}=2 , a_{4}=-15\) であるから、

\(a_{n}\) が \(5\) の倍数となるのは、\(n\) が \(4\) の倍数のとき

したがって、(1)の結果と合わせて、

\(a_{n}\) が \(10\) の倍数となるのは、\(n\) が \(12\) の倍数のときと同値である.

 

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