【1993東京大学・理・第２問】
整数からなる数列 \(\left\{ a_{n} \right\}\) を漸化式
\(\begin{cases}a_{1}=1 , a_{2}=3\\a_{n+2}=3a_{n+1}-7a_{n}\end{cases}\) \((n = 1 , 2 \cdots)\)
によって定める．
(１) \(a_{n}\) が偶数となることと、\(n\) が \(3\) の倍数となることは同値であることを示せ．
(２) \(a_{n}\) が \(10\) の倍数となるための条件を(１)と同様の形式で求めよ．
考え方・方針について
方針が見えなければ実験！
整数問題の極意は実験です！実験の中から規則、法則を見つけ(予想し)、それをきっかけに解答を作成していきます！
\(\begin{cases}a_{1}=1 , a_{2}=3\\a_{n+2}=3a_{n+1}-7a_{n}\end{cases}\) より
\(a_{3}=3a_{2}-7a_{1}=2\)
\(a_{4}=3a_{3}-7a_{2}=-15\)
・・・
と計算していくと、下記の表のような値が求まる．
| \(n\) | １ | ２ | ３ | ４ | ５ | ６ | ７ | ８ | ９ |
| \(a_{n}\) | １ | ３ | ２ | －15 | －59 | －72 | 197 | 1095 | 1906 |
| 2の倍数 | 〇 | 〇 | 〇 | ||||||
| 5の倍数 | 〇 | 〇 |
このことから、確かに \(n\) が \(3\) の倍数のとき( \(3\) つおき )に、\(a_{n}\) は偶数であることが確認できる．
また、(２)の話になるが、おそらく \(n\) が \(4\) の倍数のとき( \(4\) つおき )に、\(a_{n}\) は \(5\) の倍数になりそうであるため、\(a_{n}\) が \(10\) の倍数となるための条件は、\(n\) が \(12\) の倍数のときであることが予想される．
つまり、(１)、(２)ともに周期的に \(2\) の倍数や \(5\) の倍数になることを示せばよい．
・(１)では \(3\) つ置きの周期性を言えばよいので、
\(mod 2\) と考えたときに、\(a_{n+3}≡a_{n}\)
・(２)では \(4\) つ置きの周期性を言えばよいので、
\(mod 5\) と考えたときに、\(a_{n+4}≡a_{n}\) が示せればよい．
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解答
\(\begin{cases}a_{1}=1 , a_{2}=3\\a_{n+2}=3a_{n+1}-7a_{n}\end{cases}\) \((n = 1 , 2 \cdots)\) より
\(a_{1}=1 , a_{2}=3 , a_{3}=2 , a_{4}=-15\) ・・・①
\(a_{n+2}=3a_{n+1}-7a_{n}\) ・・・② とおく．
(１) \(mod 2\) で考える．
②において、\(3≡7≡1\) より、
\(a_{n+3}=3a_{n+2}-7a_{n+1}≡a_{n+2}-a_{n+1}\)
また②より
\(a_{n+3}≡a_{n+2}-a_{n+1}≡(a_{n+1}-a_{n})-a_{n+1}≡-a_{n}≡a_{n}\)
つまり、\(a_{n+3}\) と \(a_{n}\) の偶奇 (\(2\) で割ったときの余り) は一致する．
①より、\(a_{1}\) は奇数、\(a_{2}\) は奇数、\(a_{3}\) は偶数なので、
\(a_{n}\) が偶数となるのは、\(n\) が \(3\) の倍数のとき
以上より題意は示された．
(２) \(mod 5\) で考える．
\(a_{n+4}≡3a_{n+3}-7a_{n+2}\\≡3a_{n+3}+3a_{n+2}\\≡3(3a_{n+2}+3a_{n+1})+3a_{n+2}\\≡2a_{n+2}+4a_{n+1}\\≡2(3a_{n+1}+3a_{n})+4a_{n+1}\\≡a_{n}\)
つまり、\(a_{n+4}\) と \(a_{n}\) とは、\(5\) で割ったときの余りが一致する．
①より、\(a_{1}=1 , a_{2}=3 , a_{3}=2 , a_{4}=-15\) であるから、
\(a_{n}\) が \(5\) の倍数となるのは、\(n\) が \(4\) の倍数のとき
したがって、(１)の結果と合わせて、
\(a_{n}\) が \(10\) の倍数となるのは、\(n\) が \(12\) の倍数のときと同値である．
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