【2012京都大学】数列の極限｜公比rの値による場合分け

数列の \(\left\{r^{n}\right\}\) の極限について

このことから，数列 \(\left\{r^n\right\}\) が収束する条件は，\(-1<r≦1\)

解答・解説

( ⅰ )　\(0<a<1\) のとき

\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} (1+a^n)=1\) , \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} \displaystyle\frac{1}{n}=0\) より

\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} (1+a^n)^{\frac{1}{n}}=1^0=1\)

( ⅱ )　\(a=1\) のとき

\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} (1+a^n)^{\frac{1}{n}}=\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}2^{\frac{1}{n}}=2^0=1\)

( ⅲ )　\(a>1\) のとき

\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} (1+a^n)^{\frac{1}{n}}=\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} \left\{a^n\left(\displaystyle\frac{1}{a^n}+1\right)\right\}^{\frac{1}{n}}\)

\(=\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a\left\{1+\left(\displaystyle\frac{1}{a}\right)^n\right\}^{\frac{1}{n}}\) ・・・①

ここで，\(a>1\) より，\(0<\displaystyle\frac{1}{a}<1\) であるから，\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} \left(\displaystyle\frac{1}{a}\right)^n=0\)

よって，\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\left\{1+\left(\displaystyle\frac{1}{a}\right)^n\right\}^{\frac{1}{n}}=1^0=1\) であるから①より

\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} (1+a^n)^{\frac{1}{n}}=a\times 1=a\)

したがって，

・\(0<a≦1\) のとき， \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} (1+a^n)^{\frac{1}{n}}=1\)

・\(a>1\) のとき， \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} (1+a^n)^{\frac{1}{n}}=a\)