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2022東北大学・文・第1問【整数問題】l+m+n=Kを満たす正の奇数の組の個数N

数学(大学入試問題)

【2022東北大学・文】

考え方

\(K=99\) はそこそこ大きな数であるから、もう少し小さな例として \(K=9\) で考えてみます.

\(l\)、\(m\)、\(n\) は正の奇数であるから、自然数 \(a\)、\(b\)、\(c\) を用いて、

\(l=2a-1\)、\(m=2b-1\)、\(n=2c-1\) とおける.

\(l+m+n=9\) のとき

\((2a-1)+(2b-1)+(2c-1)=9  \iff  a+b+c=6\)

☞ \(a+b+c=6\) を満たす自然数 \(a\)、\(b\)、\(c\) の組を求めればよい.
重複組合せを考えて、\(_{5}C_{2}=10\) 通りであることが分かる.

※重複組合せを考えればよい.重複組合せに不安がある方は、

重複組合せ|場合の数・確率[数学A] を一度確認しましょう!

解答

(1)

\(l\)、\(m\)、\(n\) は正の奇数であるから、自然数 \(a\)、\(b\)、\(c\) を用いて、

\(l=2a-1\)、\(m=2b-1\)、\(n=2c-1\) とおける.

\(l+m+n=99\) のとき

\((2a-1)+(2b-1)+(2c-1)=9  \iff  a+b+c=51\)

これを満たす自然数 \(a\)、\(b\)、\(c\) の組は
\(_{50}C_{2}=1225\) 通り

 

(2)

(1)より、\(a+b+c=51\) を満たす自然数 \(a\)、\(b\)、\(c\) の組の中で、

(ア) \(3\) つとも同じとき

\(( a , b , c )=( 17 , 17 , 17 )\) の \(1\) 通り

(イ) \(2\) つだけ同じとき

このとき、\(a=b\) のみ等しい、\(b=c\) のみ等しい、\(c=a\) のみ等しいの \(3\) 通りあり、

\(a=b\) のときは、

\(( a , b , c )=( 1 , 1 , 49 ) , ( 2 , 2 , 47 ) ,  \cdots , ( 16 , 16 , 19 ) , ( 18 , 18 , 15 ) , \cdots , ( 25 , 25 , 1 )\) の \(24\) 通り

よって、\(3\times 24=72\)

(ア)、(イ)より、\(72+1=73\) 通り

(3)

(1)と同様に考える.

\(l+m+n=K\) のとき

\((2a-1)+(2b-1)+(2c-1)=K  \iff  a+b+c=\displaystyle\frac{K+3}{2}\) より

これを満たす自然数 \(a\)、\(b\)、\(c\) の組は
\(_{\frac{K+3}{2}-1}C_{2}=_{\frac{K+1}{2}}C_{2}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{K+1}{2}\times\displaystyle\frac{K-1}{2}}{2\times 1}=\displaystyle\frac{K^2-1}{8}\) 通り
\(N>K\) のとき
\(\displaystyle\frac{K^2-1}{8}>K\)
\(K^2-8K-1>0\)

\((K-4)^2>17\)

これを満たす最小の \(3\) より大きな奇数 \(K\) は、\(K=9\)

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