【2004京都大学・文系(後期)】
関数 \(f(x)\)が次の \(2\) つの性質 (１)、(２) を持つという．
(１) 任意の実数 \(x\)、\(y\) に対して、\(f(x+y)=f(x)f(y)\) が成り立つ．
(２) \(f(3)=8\)
このとき、\(f(1)=2\) であることを証明せよ．ただし、\(f(x)\) は実数であるとする．
差がつくシンプル問題
経験の差が点数の差に直結してしまいそうなシンプルな問題です。
解答をみると、何だ！たったこれだけのことか！！と思うかもしれませんが、自力で思いつくのが意外と難しい・・・。
どこから手を出して良いかわからない方はへヒント！
性質(１)は任意(すべて)の実数 \(x\)、\(y\) に対して、\(f(x+y)=f(x)f(y)\) が成り立つということであるから、
例えば \(x=y=1\) を代入すると、\(f(1+1)=f(1)f(1)\)
つまり、\(f(2)=\left\{f(1)\right\}^2\) が成り立つと言うことです．
手が出なかった方は今一度考えてみましょう！
解答
性質(１)、(２)を繰り返して用いると
\(f(3)=f(1+2)=f(1)f(2)=f(1)f(1+1)=f(1)f(1)f(1)=\left\{f(1)\right\}^3\)
性質(２)より、
\(\left\{f(1)\right\}^3=8\)
ここで \(f(1)\) は実数であるから、\(f(1)=2\)
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