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【2004京都大・文(後期)】f(x+y)=f(x)f(y),f(3)=8のときf(1)の値

数学(大学入試問題)

【2004京都大学・文系(後期)】

関数 \(f(x)\)が次の \(2\) つの性質 (1)、(2) を持つという.

(1) 任意の実数 \(x\)、\(y\) に対して、\(f(x+y)=f(x)f(y)\) が成り立つ.

(2) \(f(3)=8\)

このとき、\(f(1)=2\) であることを証明せよ.ただし、\(f(x)\) は実数であるとする.

差がつくシンプル問題

経験の差が点数の差に直結してしまいそうなシンプルな問題です。

解答をみると、何だ!たったこれだけのことか!!と思うかもしれませんが、自力で思いつくのが意外と難しい・・・。

どこから手を出して良いかわからない方はへヒント!

性質(1)は任意(すべて)の実数 \(x\)、\(y\) に対して、\(f(x+y)=f(x)f(y)\) が成り立つということであるから、

例えば \(x=y=1\) を代入すると、\(f(1+1)=f(1)f(1)\)

つまり、\(f(2)=\left\{f(1)\right\}^2\) が成り立つと言うことです.

手が出なかった方は今一度考えてみましょう!

解答

性質(1)、(2)を繰り返して用いると

\(f(3)=f(1+2)=f(1)f(2)=f(1)f(1+1)=f(1)f(1)f(1)=\left\{f(1)\right\}^3\)

性質(2)より、

\(\left\{f(1)\right\}^3=8\)

ここで \(f(1)\) は実数であるから、\(f(1)=2\)

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