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【整数問題・素数】4より大きい素数は6m±1の一部(京大、奈良女子大学過去問演習)

数学(大学入試問題)

【2006京都大学・第4問(理)】

2以上の自然数 \(n\) に対し、\(n\) と \(n^2+2\) がともに素数になるのは \(n=3\) の場合に限ることを示せ.

【2021奈良女子大学】

\(p^2-1=24q\) を満たす素数 \(p\) と素数 \(q\) の組 \(( p , q )\) をすべて求めよ.

はじめに(京都・奈良女子大学の整数問題から)

上の京都大学、奈良女子大学の整数問題(素数に関する問題)をみて、方針はたちますか?

様々な別解は考えられますが、ともに共通した考え方で処理できる問題です。

特に奈良女子大学の問題では、途中で「あれ??」となる人が多いのではないでしょうか?

整数問題の中でも「素数」に関する問題は多く、その中でも経験の差がモノを言う問題の1つです。

ここでは、しっかりと考え方・思考の仕方を学び、他の問題に活かせるようにしていきましょう!

そのために下の例題をまず最初に考えてみます。

【例題】4より大きい素数の平方を6で割った余りは?

方針が掴めなければ手を動かす(実験する)
【例】4より大きい素数を \(n\) とする
・ \(n=5\) のとき
\(n^2=25\) を6で割った余りは「1」

 

・ \(n=7\) のとき
\(n^2=49\) を6で割った余りは「1」

 

・ \(n=11\) のとき
\(n^2=121\) を6で割った余りは「1」

 

👉おそらく答えは「1」になる?

 

4以上の素数 ⇒ \(6m-1 , 6m+1\) の形で表される
《注意》逆は成立しない.(反例) \(m=4\) のとき、\(6m+1=25\) と素数ではない.
【考え方】
自然数 \(m\) を用いて、4以上のすべての素数は
  1. \(6m-2\)
  2. \(6m-1\)
  3. \(6m\)
  4. \(6m+1\)
  5. \(6m+2\)
  6. \(6m+3\)
のいずれかの中に含まれているが、
1.\(6m-2=2(3m-1)\) となり2の倍数であるから、4以上の素数はこの中に存在しない
3.\(6m\) は6の倍数であるから、4以上の素数はこの中に存在しない
5.\(6m+2=2(3m+1)\) となり2の倍数であるから、4以上の素数はこの中に存在しない
6.\(6m+3=3(2m+1)\) となり3の倍数であるから、4以上の素数はこの中に存在しない
よって、4以上の素数 ⇒ \(6m-1 , 6m+1\) の形で表される

【例題・解答】

自然数 \(m\) を用いて、4以上の素数 \(6m-1 , 6m+1\) の形で表される.
よって
\((6m±1)^2=36m^2±12m+1=6m(6m±2)+1\)
したがって、4より大きい素数の平方を6で割った余りは「1」である.
合同式(mod 6)を利用した方が記述はシンプル.

2006 京都大学

2以上の自然数 \(n\) に対し、

\(n\) と \(n^2+2\) がともに素数になるのは \(n=3\) の場合に限ることを示せ.

(ⅰ)\(n=2\) のとき

\(n^2+2=6\) となり素数にならないため不適.

 

(ⅱ)\(n=3\) のとき

\(n^2+2=11\) となり題意を満たす.

 

(ⅲ)\(n\) が4以上の素数のとき

\(n\) は2の倍数でも3の倍数でもないため、自然数 \(m\) を用いて、\(n=6m±1\) とおける.

\(n^2+2=(6m±1)^2+2=3(12m^2±4m+1)\)

となり3の倍数になる.
3の倍数で素数となるのは「3」のみであるが、
\(n^2+2=3\) を満たす\(n\) は4以上であることに反するため不適.
以上より題意は示された.
本文では6で割った余りで分類して考えたが、本問では3で割った余りで分類してもOK

2021奈良女子大学

\(p^2-1=24q\) を満たす素数 \(p\) と素数 \(q\) の組 \(( p , q )\) をすべて求めよ.

考え方・思考の仕方・解答

整数問題のPoint

  1. 積の形に変形
  2. 条件から範囲を絞る
  3. 倍数や余りに注目

「素数」は積の形に弱い!

例:仮に素数 \(p\) に対して、\(p=ab\) の形に式変形をすることが出来れば、

\(a=1\) または \(b=1\) である必要がある.※逆の確認が必要!

 

上のPointから、多くの受験生が、積の形に変形することは思いつくでしょう!

\(p^2-1=24q\) より

\((p-1)(p+1)=2^3\times 3q\)

かけて \(2^3\times 3q\) になる組み合わせがたくさん・・・

【参考】

  1. \(p-1<p+1\)
  2. \((p-1)+(p+1)=2p\) となり和が偶数であるから、(偶数 , 偶数)or (奇数 , 奇数)

1、2 から組み合わせを絞って考えることも可

4以上の素数 ⇒ \(6m-1 , 6m+1\) の形で表される

\(p= 2 , 3\) のとき、\(p^2-1=24q\) を満たす素数 \(q\) は存在しない.

\(p\) が4以上の素数のとき、2でも3でも割り切れないので、

自然数 \(m\) を用いて \(p=6m±1\) とおける.

 

(ⅰ)\(p=6m+1\) のとき

\(p^2-1=24q\) に代入して式をまとめると、

\(m(3m+1)=2q\)

上と同じ積の形だけど、組み合わせがさっきよりはるかに少ないね!

\(m<3m+1 , 3m+1≧4\) より

\(( m , 3m+1 )=( 1 , 2q ) , ( 2 , q )\)

よって

\(( m , p , q )=( 1 , 7 , 2 ) , ( 2 , 13 , 7 )\)

(これはともに条件を満たす)

 

(ⅱ)\(p=6m-1\) のとき

\(p^2-1=24q\) に代入して式をまとめると、

\(m(3m-1)=2q\)

\( 3m-1≧2\) より

\(( m , 3m-1 )=( 1 , 2q ) , ( 2 , q ) , ( q , 2 )\)

よって

\(( m , p , q )=( 1 , 5 , 1 ) , ( 2 , 11 , 5 ) , ( 1 , 5 , 1 )\)

\(q\) は素数であるから、

\(( m , p , q )=( 2 , 11 , 5 )\)

 

したがって

\(( p , q )=( 7 , 2 ) , ( 11 , 5 ) , ( 13 , 7 )\)

 

最後に

整数問題において、「素数」は頻出テーマです。

もちろん全ての問題がこれで解決というわけではありませんが、1つの引き出しとして今回の考え方を持っておきましょう!

同じ問題は出題されませんが、同じ形式の問題はよく出題されます。

整数問題が苦手な人は、ただがむしゃらに問題を解くのではなく、良問で考え方をしっかりと理解し、力をつけていくようにしましょう!

他にも整数問題の考え方・思考の仕方を紹介しています。よかったら読んでください。

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