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【2021大阪府立大学】絶対値を含む定積分(数学Ⅱ)の演習問題

数学(大学入試問題)

【2021大阪府立大学】

\(a\) を正の実数とする.関数 \(S(a)=\displaystyle\int^{2}_{0}| x^2-ax |\enspace dx\) について,以下の問に答えよ.

(1) \(x\) の関数 \(y=| x^2-ax |\) のグラフの概形をかけ.

(2) \(S(a)\) を \(a\) を用いて表せ.

(3)  \(a\) がすべての正の実数を動くとき,\(S(a)\) の最小値を求めよ.

解答・解説

(1)絶対値のグラフ

\(y=| x(x-a) |\) より,グラフの概形は右図太線

 

 

 

(2)絶対値を含む定積分

( ⅰ ) \(0<a<2\) のとき

\(S(a)=\displaystyle\int^{a}_{0}(-x^2+ax) \enspace dx+\displaystyle\int^{2}_{a}(x^2-ax) \enspace dx\)

\(=-\displaystyle\int^{a}_{0}x(x-a) \enspace dx+\Bigl[\displaystyle\frac{1}{3}x^3-\displaystyle\frac{a}{2}x^2\Bigr]^{2}_{a}\)

\(=\displaystyle\frac{1}{6}(a-0)^3+\left(\displaystyle\frac{8}{3}-2a\right)-\left(\displaystyle\frac{1}{3}a^3-\displaystyle\frac{a}{2}a^2\right)\)

\(=\displaystyle\frac{1}{3}a^3-2a+\displaystyle\frac{8}{3}\)

( ⅱ ) \(a≧2\) のとき

\(S(a)=\displaystyle\int^{2}_{0}(-x^2+ax) \enspace dx\)

\(=\Bigl[-\displaystyle\frac{1}{3}a^3+\displaystyle\frac{a}{2}a^2\Bigr]^{2}_{0}\)

\(=2a-\displaystyle\frac{8}{3}\)

したがって,

\(S(a)=\begin{cases}\displaystyle\frac{1}{3}a^3-2a+\displaystyle\frac{8}{3} ( 0<a<2 )\\2a-\displaystyle\frac{8}{3}      ( a≧2 ) \end{cases}\)

(3)区間分けされた関数の最小値

(2)より

\(S(a)=\begin{cases}\displaystyle\frac{1}{3}a^3-2a+\displaystyle\frac{8}{3} ( 0<a<2 )\\2a-\displaystyle\frac{8}{3}      ( a≧2 ) \end{cases}\)

を \(a\) で微分すると

\(S^{\prime}(a)=\begin{cases}a^2-2 ( 0<a<2 )\\2    ( a>2 ) \end{cases}\)

増減表は以下のようになるので

求める最小値は,\(S(\sqrt{2})=\displaystyle\frac{8-4\sqrt{2}}{3}\)

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