【2022鳥取大学・医学部・第４問】
各項が正の整数である数列 \(\left\{a_{n}\right\}\) が，条件
\(a_{1}<a_{2}<a_{3}<\cdots<a_{n}<a_{n+1}<\cdots\)
を満たすとき，次の問いに答えよ．
(１) すべての正整数 \(n\) に対し，\(a_{n}≧n\) が成り立つことを示せ．
(２) \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{\left(\displaystyle\frac{1}{a_{n}}\right)^2<2}\) であることを示せ．
解答・解説
(１) すべての正整数 \(n\) に対し，\(a_{n}≧n\) が成り立つことを示せ．
数学的帰納法を用いて証明する．
( ⅰ ) \(n=1\) のとき
\(a_{1}\) は正の整数より，\(a_{1}≧1\)
よって \(n=1\) のとき成立する．
( ⅱ ) \(n=k\) のとき成立すると仮定する
つまり，\(a_{k}≧k\) ・・・①が成立すると仮定
条件から \(a_{k}<a_{k+1}\) かつ \(a_{k}\)，\(a_{k+1}\) は正の整数より
\(a_{k}+1≦a_{k+1}\)
①より，\(k+1≦a_{k}+1≦a_{k+1}\)
よって，\(k+1≦a_{k+1}\) となり \(n=k+1\) で成立
( ⅰ )，( ⅱ )よりすべての正整数 \(n\) に対して \(a_{n}≧n\)
(２) \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{\left(\displaystyle\frac{1}{a_{n}}\right)^2<2}\) であることを示せ．
(１)より \(a_{n}≧n\) \(\iff\) \(\displaystyle\frac{1}{a_{n}}≦\displaystyle\frac{1}{n}\)
よって，\(\left(\displaystyle\frac{1}{a_{n}}\right)^2≦\displaystyle\frac{1}{n^2}\)
ここで \(n≧3\) のとき
\(\displaystyle\frac{1}{n^2}<\displaystyle\frac{1}{(n-1)n}=\displaystyle\frac{1}{n-1}-\displaystyle\frac{1}{n}\) より
\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{\left(\displaystyle\frac{1}{a_{n}}\right)^2}=\left(\displaystyle\frac{1}{a_{1}}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{1}{a_{2}}\right)^2+\displaystyle\sum_{n=3}^{\infty}{\left(\displaystyle\frac{1}{a_{n}}\right)^2}\)
\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{\left(\displaystyle\frac{1}{a_{n}}\right)^2}<\left(\displaystyle\frac{1}{a_{1}}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{1}{a_{2}}\right)^2+\displaystyle\sum_{n=3}^{\infty}{\left(\displaystyle\frac{1}{n-1}-\displaystyle\frac{1}{n}\right)}\)
ここで，\(a_{1}≧1\)，\(a_{2}≧2\) より
\(\left(\displaystyle\frac{1}{a_{1}}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{1}{a_{2}}\right)^2≦1+\displaystyle\frac{1}{4}=\displaystyle\frac{5}{4}\)
\(\displaystyle\sum_{n=3}^{\infty}{\left(\displaystyle\frac{1}{n-1}-\displaystyle\frac{1}{n}\right)}=\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\displaystyle\sum_{k=3}^{n}{\left(\displaystyle\frac{1}{k-1}-\displaystyle\frac{1}{k}\right)}=\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\displaystyle\frac{1}{2}-\displaystyle\frac{1}{n}\right)=\displaystyle\frac{1}{2}\)
したがって，
\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{\left(\displaystyle\frac{1}{a_{n}}\right)^2}≦\displaystyle\frac{5}{4}+\displaystyle\frac{1}{2}=\displaystyle\frac{7}{4}<2\)
\(n≧3\) として考えましたが，\(n≧2\) として考えると，
\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{\left(\displaystyle\frac{1}{a_{n}}\right)^2}≦2\) となり等号について吟味する必要が出てきます。そこでより条件を絞って \(n≧3\) として考えました。これは一度手を動かしてやってみないとわからないことですので、どうして？？と思った方はぜひ \(n≧2\) でもやってみてください！
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