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【2021東京大学・文系】円と3次関数の共有点が6個である条件

数学(大学入試問題)

【2021東京大学・文系】

\(a\) を正の実数とする.座標平面上の曲線 \(C\) を \(y=ax^3-2x\) で定める.原点を中心とする半径 \(1\) の円と \(C\) の共有点の個数が \(6\) 個であるような \(a\) のん範囲を求めよ.

考え方・解答・解説

\(y=ax^3-2x\) ・・・①

原点を中心とする半径 \(1\) の円: \(x^2+y^2=1\) ・・・②

①,②より

\(x^2+(ax^3-2x)^2=1\) より

\(a^2x^6-4ax^4+5x^2-1=0\) ・・・③

題意は,③の実数解が \(6\) 個になればよい.

\(t=x^2\) と置き換えることで,\(3\) 次方程式に変形することができます!

考え方や例題は、「置き換えによる2次関数の最大・最小[4STEP 162番]頻出重要問題・複二次式」を参考に!

ここで,\(t=x^2\) とおくと③は

\(a^2t^3-4at^2+5t-1=0\) ・・・④

このとき,\(t=0\) のとき④の解ではないので \(t>0\)

\(t>0\) を満たす任意の \(1\) つの \(t\) に対して,\(x\) は実数解を \(2\) つもつことになるため

題意を満たすためには,④を満たす正の実数 \(t\) が全部で \(3\) 個存在すればよい.

\(3\) 次方程式が解を \(3\) 個もつときの考え方は,定数分離できるかどうかで方針が変わりましたね!

本問では定数分離ができないため,「【2019早稲田大学・教育】非定数分離型・異なる3つの実数解を持つ条件」で学習した考え方を利用しましょう!

④の左辺を \(f(t)\) とおくと

\(f^{\prime}(t)=3a^2t^2-8at+5=(at-1)(3at-5)\)

\(f^{\prime}(t)=0\) のとき,\(t=\displaystyle\frac{1}{a}\) , \(\displaystyle\frac{5}{3a}\)

\(a>0\) より\(0<\displaystyle\frac{1}{a}<\displaystyle\frac{5}{3a}\) であるから,\(t>0\) における増減表は以下のようになる.

ゆえに題意を満たすためには,

\(f\left(\displaystyle\frac{1}{a}\right)>0\) かつ \(f\left(\displaystyle\frac{5}{3a}\right)<0\) を満たせばよい.

\(f\left(\displaystyle\frac{1}{a}\right)=\displaystyle\frac{2}{a}-1>0\) より \(0<a<2\)

\(f\left(\displaystyle\frac{5}{3a}\right)=\displaystyle\frac{50}{27a}-1<0\) より \(a>\displaystyle\frac{50}{27}\)

したがって,\(\displaystyle\frac{50}{27}<a<2\)

【2022慶應義塾大学】4次関数と二重接線(複接線)で囲まれた図形の面積
4次関数と二重接線の連立方程式を解いた解が2つの接点であるから、(x-α)^2(x-β)^2と恒等式になることを利用して係数比較。また4次関数と二重接線で囲まれた図形の面積は、30分の1公式になる有名問題。またその証明。数学Ⅱ:微分積分。慶應義塾大学過去問演習・2次試験対策。

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